(vale
)
Determine a solução do PVI:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo:
com as condições iniciais $ y(1) = 1 $ e $ y’(1) = 0 $. Esse tipo de equação é chamada de equação de Euler ou equação Cauchy, que é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes que dependem de $ t $. Para resolver, vamos procurar soluções do tipo $ y = t^{r} $, onde $ r $ é um número que a gente precisa descobrir.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que $ y = t^{r} $. Agora, precisamos calcular as derivadas de $ y $ em relação a $ t $:
Agora, vamos substituir $ y $, $ y’ $ e $ y’’ $ na equação original:
Passo 3
Simplificando os termos:
Fatorando $ t^{r} $:
Como $ t^{r} $ nunca é zero para $ t > 0 $, podemos igualar o que está dentro dos colchetes a zero:
Agora, resolvemos essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $.
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática $ r^{2} + r - 6 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 1 $ e $ c = -6 $:
Então, temos duas soluções para $ r $:
Isso significa que as soluções da equação são $ y_1 = t^{2} $ e $ y_2 = t^{-3} $. A solução geral é uma combinação linear dessas duas soluções:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos usar as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, com $ y(1) = 1 $:
Segundo, vamos calcular $ y’ $ para usar $ y’(1) = 0 $:
Agora, substituindo $ t = 1 $ e $ y’(1) = 0 $:
Agora, temos um sistema de equações:
Resolvendo esse sistema: da primeira equação, $ C_1 = 1 - C_2 $. Substituindo na segunda:
Então, $ C_1 = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5} $.
Resposta
A solução do problema é: