(vale 2,0 pts ) square Determine a solução do PVI:
l t^2 y^prime prime+2 t y^prime-6 y=0, t>0 y(1)=1, y^prime(1)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo:
t^2 y'' + 2 t y' - 6 y = 0
com as condições iniciais $ y(1) = 1 $ e $ y’(1) = 0 $. Esse tipo de equação é chamada de equação de Euler ou equação Cauchy, que é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes que dependem de $ t $. Para resolver, vamos procurar soluções do tipo $ y = t^{r} $, onde $ r $ é um número que a gente precisa descobrir.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que $ y = t^{r} $. Agora, precisamos calcular as derivadas de $ y $ em relação a $ t $:
y = t^r
y
Agora, vamos substituir $ y $, $ y’ $ e $ y’’ $ na equação original:
t

Passo 3

Simplificando os termos:
r (r - 1) t^r + 2 r t^r - 6 t^r = 0
Fatorando $ t^{r} $:
t^r
Como $ t^{r} $ nunca é zero para $ t > 0 $, podemos igualar o que está dentro dos colchetes a zero:
t^r [r (r - 1) + 2 r - 6] = 0
t^r
t > 0
Agora, resolvemos essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $.

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática $ r^{2} + r - 6 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
r^2 + r - 6 = 0
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 1 $ e $ c = -6 $:
r = -b pm raizb^2 - 4 a c2 a
Então, temos duas soluções para $ r $:
a = 1
b = 1
Isso significa que as soluções da equação são $ y_1 = t^{2} $ e $ y_2 = t^{-3} $. A solução geral é uma combinação linear dessas duas soluções:
c = -6
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos usar as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, com $ y(1) = 1 $:
C1
Segundo, vamos calcular $ y’ $ para usar $ y’(1) = 0 $:
C2
Agora, substituindo $ t = 1 $ e $ y’(1) = 0 $:
y(1) = 1
Agora, temos um sistema de equações:
1 = C1 (1)^2 + C2 (1)^-3 Rightarrow 1 = C1 + C2
Resolvendo esse sistema: da primeira equação, $ C_1 = 1 - C_2 $. Substituindo na segunda:
y'
Então, $ C_1 = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5} $.

Resposta

A solução do problema é:
y(t) = 35 t^2 + 25 t^-3

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