Qual o volume do sólido no priemiro octante limitado pelo cone z=r e pelo cilindro r=3 sen theta
integralegral duplaR r^2 d A
ou seja
integral0^pi2 integral0^3 sen theta r^2 r d r d theta
a) 2
c) 5
b) 4
(d) 6
e) 8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve encontrar o volume de um sólido no primeiro octante. O problema nos dá um cone, representado pela equação $ z = r $, e um cilindro, dado por $ r = 3 \sin \theta $. Para resolver isso, vamos precisar usar a integração em coordenadas polares, que é muito útil para calcular volumes e áreas em situações com simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos lidando. O primeiro octante significa que todas as coordenadas $ x, y, z $ são positivas. O cone $ z = r $ nos mostra que, para cada ponto no espaço, a altura $ z $ é igual à distância radial $ r $ do eixo $ z $.

Passo 3

O cilindro $ r = 3 \sin \theta $ define a fronteira radial do nosso sólido. Em coordenadas polares, $ r $ é a distância do ponto até a origem, e $ \theta $ é o ângulo com o eixo $ x $. Portanto, $ r = 3 \sin \theta $ nos dá o limite máximo de $ r $ para cada $ \theta $ no primeiro octante.

Passo 4

Para encontrar o volume do sólido, usamos a integral dupla em coordenadas polares:
integral0^pi2 integral0^3 sin theta r^2 cdot r , dr , dtheta
Aqui, $ r^{2} $ vem da equação do cone $ z = r $ e o fator extra $ r $ é o jacobiano da transformação para coordenadas polares.

Passo 5

Vamos integrar primeiro em relação a $ r $. A integral interna fica:
r
A antiderivada de $ r^{3} $ é $ \frac{r^{4}}{4} $, então avaliamos de 0 a $ 3 \sin \theta $:
integral0^3 sin theta r^3 , dr

Passo 6

Agora, a integral se reduz a:
integral0^pi2 81 sin^4 theta4 , dtheta = 814 integral0^pi2 sin^4 theta , dtheta
Precisamos calcular a integral de $ \sin^{4} \theta $ de 0 a $ \frac{\pi}{2} $.

Passo 7

Sabemos que:
integral sin^n theta , dtheta = n-1n integral sin^n-2 theta , dtheta
Aplicando isso para $ n = 4 $:
n = 4
E sabemos que:
integral sin^4 theta , dtheta = 34 integral sin^2 theta , dtheta

Passo 8

Portanto,
integral0^pi2 sin^4 theta , dtheta = 34 [ theta2 - sin 2theta4 ]0^pi2 = 34 ( pi4 - 0 ) = 3pi16

Passo 9

Voltando à nossa integral original:
814 cdot 3pi16 = 243 pi64

Resposta

O volume do sólido é 243pi64, o que aproximadamente é igual a 6.

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