Qual o volume do sólido no priemiro octante limitado pelo cone e pelo cilindro
ou seja
a) 2
c) 5
b) 4
(d) 6
e) 8
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve encontrar o volume de um sólido no primeiro octante. O problema nos dá um cone, representado pela equação $ z = r $, e um cilindro, dado por $ r = 3 \sin \theta $. Para resolver isso, vamos precisar usar a integração em coordenadas polares, que é muito útil para calcular volumes e áreas em situações com simetria circular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos lidando. O primeiro octante significa que todas as coordenadas $ x, y, z $ são positivas. O cone $ z = r $ nos mostra que, para cada ponto no espaço, a altura $ z $ é igual à distância radial $ r $ do eixo $ z $.
Passo 3
O cilindro $ r = 3 \sin \theta $ define a fronteira radial do nosso sólido. Em coordenadas polares, $ r $ é a distância do ponto até a origem, e $ \theta $ é o ângulo com o eixo $ x $. Portanto, $ r = 3 \sin \theta $ nos dá o limite máximo de $ r $ para cada $ \theta $ no primeiro octante.
Passo 4
Para encontrar o volume do sólido, usamos a integral dupla em coordenadas polares:
Aqui, $ r^{2} $ vem da equação do cone $ z = r $ e o fator extra $ r $ é o jacobiano da transformação para coordenadas polares.
Passo 5
Vamos integrar primeiro em relação a $ r $. A integral interna fica:
A antiderivada de $ r^{3} $ é $ \frac{r^{4}}{4} $, então avaliamos de 0 a $ 3 \sin \theta $: