Encontre o conjunto solução das seguintes desigualdades.
x^2(x-1) <= 0

Passo 1

O enunciado pede para a gente encontrar o conjunto de soluções da inequação x^2(x-1) <= 0. O conteúdo aqui é resolução de inequação polinomial, e vamos usar análise de sinais dos fatores desse polinômio para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, identificamos onde o polinômio anula, ou seja, resolvemos x^2(x-1)=0.
x^2(x-1)=0 implies x=0 (mu
Sabendo as multiplicidades, lembramos que uma raiz de multiplicidade par faz o sinal do fator “não mudar” ao passar por ela, e uma de multiplicidade ímpar faz o sinal “mudar”.

Passo 3

A partir das raízes, dividimos a reta em três intervalos: ( -infty,0), (0,1) e (1,+infty). Para cada intervalo, analisamos o sinal de cada fator:
  • x^2>0 para todo xneq0.
  • x-1<0 se x<1, e x-1>0 se x>1.
Logo o produto x^2(x-1) é negativo sempre que x<1 (exceto em x=0, onde é zero) e positivo para x>1.

Passo 4

Como queremos x^2(x-1)<=0, buscamos as regiões em que o produto é negativo ou nulo. O produto é negativo em todo x<1 e zera em x=0 e x=1. Portanto, a solução é todo x menor ou igual a 1.

Resposta

(-\infty,,1]

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