Encontre o conjunto solução das seguintes desigualdades.
Passo 1
O enunciado pede para a gente encontrar o conjunto de soluções da inequação
. O conteúdo aqui é resolução de inequação polinomial, e vamos usar análise de sinais dos fatores desse polinômio para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, identificamos onde o polinômio anula, ou seja, resolvemos
.
Sabendo as multiplicidades, lembramos que uma raiz de multiplicidade par faz o sinal do fator “não mudar” ao passar por ela, e uma de multiplicidade ímpar faz o sinal “mudar”.
Passo 3
A partir das raízes, dividimos a reta em três intervalos:
,
e
. Para cada intervalo, analisamos o sinal de cada fator:
-
para todo . -
se , e se .
Logo o produto
é negativo sempre que
(exceto em
, onde é zero) e positivo para
.
Passo 4
Como queremos
, buscamos as regiões em que o produto é negativo ou nulo. O produto é negativo em todo
e zera em
e
. Portanto, a solução é todo
menor ou igual a 1.
Resposta
(-\infty,,1]