Encontre o conjunto solução do sistema linear abaixo.
\left\{\begin{array}{l}2 x-3 y+4 z=-12 \x-2 y+z=-5 \\\ 3 x+y+2 z=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} 2x - 3y + 4z = -12,\\\ x - 2y + z = -5,\\\\ 3x + y + 2z = 1 \end{cases}
e pede o conjunto–solução. Vamos usar o método de substituição, que consiste em isolar uma variável numa equação, substituir nas demais e resolver passo a passo.

Passo 2

Da segunda equação isolo x:
x - 2y + z = -5 \quad\Longrightarrow\quad x = -5 + 2y - z.

Passo 3

Substituo x = -5 + 2y - z na primeira equação 2x - 3y + 4z = -12:
2(-5 + 2y - z) - 3y + 4z = -12 \quad\Longrightarrow\quad -10 + 4y -2z -3y +4z = -12
\Longrightarrow\quad y + 2z = -2.

Passo 4

Da relação y + 2z = -2 segue
y = -2 - 2z.
E, voltando em x = -5 + 2y - z, substituo y:
x = -5 + 2(-2 - 2z) - z = -5 -4 -4z - z = -9 - 5z.

Passo 5

Agora substituo x = -9 -5z e y = -2 -2z na terceira equação 3x + y + 2z = 1:
3(-9 -5z) + (-2 -2z) + 2z = 1 \quad\Longrightarrow\quad -27 -15z -2 -2z +2z = 1
\Longrightarrow\quad -29 -15z = 1 \quad\Longrightarrow\quad -15z = 30 \quad\Longrightarrow\quad z = -2.
Com z=-2 obtemos
y = -2 - 2(-2) = 2, \qquad x = -9 -5(-2) = 1.

Resposta

O conjunto solução é
\{(x,y,z)\} = \{(1,2,-2)\}.

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