Determine o foco da parabola de equagao y^{2}+8 x+10 y+33=0.

Passo 1

O enunciado pede o foco da parábola dada por
y^{2} + 8x + 10y + 33 = 0.
Aqui vamos trabalhar com cônicas, em particular parábolas, e usar a técnica de completar quadrado para levá-la à forma canônica

Passo 2

Agrupamos os termos em y e completamos o quadrado:
y^{2} + 10y = (y + 5)^{2} - 25.
Substituindo na equação original:
(y + 5)^{2} - 25 + 8x + 33 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (y + 5)^{2} + 8x + 8 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 8x = -(y + 5)^{2} - 8.
Logo, isolando x:
x = -\frac{1}{8}(y + 5)^{2} - 1.

Passo 3

Reescrevendo em forma canônica
(y + 5)^{2} = -8\,(x + 1),
vemos que o vértice é
(h,k)=(-1,-5)
e que 4p = -8, ou seja
p = -2.

Passo 4

Para parábola com equação (y-k)^{2}=4p(x-h), o foco é (h+p,k). Aqui isso dá
\bigl(h+p,\;k\bigr) = \bigl(-1 -2,\;-5\bigr) = (-3,\,-5).

Resposta

O foco da parábola é \bigl(-3,-5\bigr).

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