Encontre o conjunto solução do sistema linear abaixo.
\left\{\begin{array}{l}2 x+3 y+5 z=8 \x+y+z=3 \\\ 10 x+13 y+19 z=36\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede o conjunto-solução do sistema
\begin{cases} 2x + 3y + 5z = 8,\\\ x + y + z = 3,\\\\ 10x + 13y + 19z = 36. \end{cases}
O conteúdo é resolução de sistemas lineares por substituição ou eliminação. Vamos usar substituição a partir da segunda equação.

Passo 2

Da segunda equação, isolamos x:
x + y + z = 3 \quad\Longrightarrow\quad x = 3 - y - z.

Passo 3

Substituímos x = 3 - y - z na primeira equação:
2(3 - y - z) + 3y + 5z = 8 \;\Longrightarrow\; 6 - 2y - 2z + 3y + 5z = 8 \;\Longrightarrow\; y + 3z = 2 \;\Longrightarrow\; y = 2 - 3z.

Passo 4

Fazemos a mesma substituição na terceira equação para checar consistência:
10(3 - y - z) + 13y + 19z = 36 \;\Longrightarrow\; 30 - 10y - 10z + 13y + 19z = 36 \;\Longrightarrow\; 3y + 9z = 6 \;\Longrightarrow\; y + 3z = 2,
que é a mesma relação obtida antes. Logo, as três equações são compatíveis e dependentes, gerando infinitas soluções.

Passo 5

Escolhemos z como parâmetro livre, digamos z = t. Então
y = 2 - 3t, \quad x = 3 - y - z = 3 - (2 - 3t) - t = 1 + 2t.
Assim o conjunto-solução fica em forma vetorial.

Resposta

\{(x,y,z)\mid x = 1 + 2t,\;y = 2 - 3t,\;z = t,\;t\in\mathbb{R}\}
ou equivalentemente
\{(1,2,0) + t\,(2,-3,1)\mid t\in\mathbb{R}\}.

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