Verificar se os pontos \mathrm{P}_{1}(5,-5,6) e \mathrm{P}_{2}(4,-1,12) pertencem à reta
r: \frac{x-3}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{-2}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os pontos \mathrm{P}_{1}(5,-5,6) e \mathrm{P}_{2}(4,-1,12) pertencem à reta
r: \frac{x-3}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{-2}.
O conteúdo envolve geometria analítica no espaço: sabemos que um ponto pertence a uma reta dada em forma simétrica se, ao calcular o parâmetro t em cada fração, os valores coincidirem.

Passo 2

Vamos reescrever a reta em forma paramétrica, extraindo um ponto base e o vetor diretor. Da forma simétrica
\frac{x-3}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{-2}=t
temos o ponto (3,-1,2) e o vetor diretor \mathbf{d}=(-1,2,-2). Logo, em forma vetorial:
r: (x,y,z) = (3,-1,2) + t\,(-1,2,-2).
Um ponto (x,y,z) pertence a r se existir t que satisfaça
(x-3,y+1,z-2) = t\,(-1,2,-2).

Passo 3

Verificação de \mathrm{P}_{1}(5,-5,6):
Calcular as componentes do vetor \mathrm{P}_{1} - (3,-1,2):
5-3 = 2,\quad -5 -(-1) = -4,\quad 6-2 = 4.
Agora as frações simétricas:
\frac{x-3}{-1} = \frac{2}{-1} = -2,\quad \frac{y+1}{2} = \frac{-4}{2} = -2,\quad \frac{z-2}{-2} = \frac{4}{-2} = -2.
Como todos dão t=-2, concluímos que \mathrm{P}_{1} pertence à reta.

Passo 4

Verificação de \mathrm{P}_{2}(4,-1,12):
Calcular as componentes do vetor \mathrm{P}_{2} - (3,-1,2):
4-3 = 1,\quad -1 -(-1) = 0,\quad 12-2 = 10.
Agora as frações simétricas:
\frac{x-3}{-1} = \frac{1}{-1} = -1,\quad \frac{y+1}{2} = \frac{0}{2} = 0,\quad \frac{z-2}{-2} = \frac{10}{-2} = -5.
Como esses valores não coincidem, não existe um único t que satisfaça todas as frações, logo \mathrm{P}_{2} não pertence à reta.

Resposta

\mathrm{P}_{1} pertence à reta r e \mathrm{P}_{2} não pertence à reta r.

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