Encontre a constante b tal que (x y^2+b x^2 y) d x+(x+y) x^2 d y=0 seja exata e resolva-a.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
l(x y^2+b x^2yr),dx + (x+y)x^2,dy = 0
e pede (i) o valor de b que torna a forma exata, e (ii) a solução geral. Vamos usar o critério de exatidão para formas diferenciais e, em seguida, encontrar a função potencial phi(x,y) tal que dphi=0.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = x y^2 + b x^2y, N(x,y) = x^2(x+y) = x^3 + x^2y
A condição de exatidão é
partial Mpartial y ;=;partial Npartial x

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 2xy + b x^2, partial Npartial x = 3x^2 + 2xy
Igualando-as temos
2xy + b x^2 = 3x^2 + 2xy ;Longrightarrow; b x^2 = 3x^2 ;Longrightarrow; b = 3

Passo 4

Com b=3, integraremos M em relação a x para obter phi:
phi(x,y) = integrall(x y^2+3x^2yr),dx = 12x^2y^2 + x^3y + h(y),
onde h(y) é função a determinar. Agora,
partial phipartial y = x^2y + x^3 + h'(y)
deve ser igual a N(x,y)=x^3+x^2y. Logo
x^3+x^2y + h'(y) = x^3+x^2y ;Longrightarrow; h'(y)=0 ;Longrightarrow; h(y)=constante
Assim, a função potencial é
phi(x,y)=12x^2y^2+x^3y

Resposta

O valor que torna a equação exata é
b = 3
A solução geral, em forma implícita, é
12x^2y^2 + x^3y = C,
com C constante de integração.

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