Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo de f. caso existam, sujeita à(s) restrição(ões) dada(s):
f(x, y, z)=x^2+2 y^2+3 z^2, x+y+z=1 e x-y+2 z=2

Passo 1

Neste problema queremos encontrar extremos de
f(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2
sujeito às restrições lineares
x+y+z=1, x-y+2z=2
O método dos multiplicadores de Lagrange nos diz para montar a função
L(x,y,z,lambda,mu) = x^2+2y^2+3z^2 +lambda,(x+y+z-1) +mu,(x-y+2z-2)
e impor as condições de estacionaridade.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
partialLpartial x=2x+lambda+mu=0, partialLpartial y=4y+lambda-mu=0, partialLpartial z=6z+lambda+2mu=0
Junto com as duas restrições
x+y+z=1, x-y+2z=2,
formamos um sistema de cinco equações em cinco incógnitas.

Passo 3

Das duas primeiras equações obtemos
lambda+mu=-2x, lambda-mu=-4y
o que leva a
mu=2y-x, lambda=-x-2y
Substituindo em
lambda+2mu=-6z
vem
(-x-2y)+2(2y-x)=-6z Longrightarrow 3x-2y-6z=0

Passo 4

Agora temos o sistema linear em (x,y,z):
3x-2y-6z=0, x+y+z=1, x-y+2z=2
Resolvendo, encontra-se
z=tfrac1123, x=tfrac1823, y=-tfrac623

Passo 5

Calculamos o valor de f neste ponto:
fl(tfrac1823,-tfrac623,tfrac1123r) =l(tfrac1823r)^2 +2l(-tfrac623r)^2 +3l(tfrac1123r)^2 =3323
Como o domínio (interseção de dois planos) é uma reta infinita e f é quadrática positiva, não existe valor máximo (ela cresce sem limite), mas existe um único mínimo.

Resposta

Valor mínimo de f é 3323, obtido em l(x,y,zr)=l(tfrac1823,-tfrac623,tfrac1123r).
Não há valor máximo, pois f é não limitada acima sobre a reta dada pelas restrições.

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