Determinar a expressão da integral que permite calcular o comprimento de arco das seguintes curvas dadas:
y=1x ; 14 <= x <= 4

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva y = 1x no intervalo 14 <= x <= 4. Para isso usamos a fórmula do comprimento de arco de uma função y=f(x):
L = integrala^b raiz1 + l(f'(x)r)^2,dx

Passo 2

Calculamos a derivada de y. Como y = x^-1, tem-se
y' = ddxl(x^-1r) = -,x^-2,
e então
l(y'r)^2 = l(-x^-2r)^2 = x^-4 = 1x^4

Passo 3

Substituindo l(y'r)^2 na fórmula de comprimento de arco, obtemos
L = integraltfrac14^4 raiz1 + 1x^4;dx
Opcionalmente, podemos reescrever o integrando como
raiz1 + 1x^4 = raizx^4 + 1x^4 = raizx^4 + 1x^2,
ficando
L = integraltfrac14^4 raizx^4 + 1x^2;dx

Resposta

L = integraltfrac14^4 raiz1 + 1x^4;dx
ou, equivalentemente,
L = integraltfrac14^4 raizx^4 + 1x^2;dx

Exercícios relacionados