Encontre as constantes

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= 2x+1,&x<=3, ax+b,&3<x<5, x^2+2,&x>=5
e pede a e b para que f seja contínua em toda R. Como cada ramo isolado é contínuo, só precisamos impor continuidade nos pontos de transição x=3 e x=5, ou seja, igualar limites laterais nesses pontos.

Passo 2

Para x=3:
  • Limite pela esquerda e valor em 3 (ramo 2x+1):
limxto3^-f(x)=f(3)=2cdot3+1=7
  • Limite pela direita (ramo ax+b):
limxto3^+f(x)=3a+b
Igualando para continuidade:
3a+b=7

Passo 3

Para x=5:
  • Limite pela esquerda (ramo ax+b):
limxto5^-f(x)=5a+b
  • Limite pela direita e valor em 5 (ramo x^2+2):
limxto5^+f(x)=f(5)=5^2+2=27
Igualando para continuidade:
5a+b=27

Passo 4

Resolvendo o sistema
3a+b=7, 5a+b=27,
subtraímos a primeira equação da segunda:
(5a+b)-(3a+b)=27-7 Rightarrow 2a=20 Rightarrow a=10
Então
b=7-3a=7-3cdot10=7-30=-23

Resposta

a=10 e b=-23.

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