Determine, se existir:
lim x 2 f(x), sabendo que x^2-4x-2<f(x)<e^x-2+3 para todo x neq 2.

Passo 1

O enunciado pede limxto2f(x) sabendo que, para todo xneq2,
x^2-4x-2<f(x)<e^x-2+3
O conteúdo principal aqui é o Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem): se duas funções que “prendem” f(x) têm o mesmo limite em xto2, então f tem esse mesmo limite.

Passo 2

Primeiro, simplificamos a função da parte esquerda:
x^2-4x-2 = (x-2)(x+2)x-2 = x+2, xneq2
Logo
limxto2x^2-4x-2 = limxto2(x+2) = 4

Passo 3

Agora, avaliamos o limite da parte direita:
limxto2l(e^x-2+3r) = e^2-2+3 = e^0+3 = 1+3 = 4

Passo 4

Como para todo xneq2 vale
x+2 < f(x) < e^x-2+3
e ambos os limites das funções que “prendem” f(x) são iguais a 4, pelo Teorema do Confronto temos
limxto2f(x) = 4

Resposta

4

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