Encontre a terceira derivada de
.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos:
- O enunciado pede: calcular a terceira derivada da função
. - A função dada é
- Objetivo explícito: encontrar
(a terceira derivada de ).
Passo 2
Conceitos e regras que vamos usar (explicadinho, sem pular etapas):
-
Derivada: a derivada de uma função em relação a
mede a taxa de variação instantânea dessa função quando varia. Para polinômios vamos usar regras algébricas simples (não precisamos do limite formal na prova se sabemos as regras abaixo). -
Linearidade da derivada: a derivada de uma soma é a soma das derivadas e constantes multiplicativas saem na frente. Em símbolos:
onde
são constantes e
funções diferenciáveis.
- Regra do potência (power rule): se
com sendo um número real (no nosso caso inteiro não-negativo), então
Aqui
é o expoente e
a variável. Exemplo rápido:
.
- Derivada de termo linear e constante:
- Se
com constante, então . - Se
é constante, então .
- Se
Essas três ideias (linearidade, regra da potência e derivadas de termos simples) bastam para derivar polinômios termo a termo.
Passo 3
Calcular a primeira derivada
termo a termo, aplicando a regra do potência e a linearidade:
- Derivada de
é , pois pela regra do potência dá . - Derivada de
: a constante sai na frente e aplicamos a regra do potência com , então dá . - Derivada de
é . - Derivada de
é (termo linear). - Derivada de
é (constante).
Somando os resultados (pela linearidade), obtemos
Passo 4
Calcular a segunda derivada
derivando
termo a termo:
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Somando:
Observação pedagógica: se quiser simplificar pode fatorar
por
, ficando
; isso não é necessário, mas às vezes ajuda a ver padrões.
Passo 5
Calcular a terceira derivada
derivando
termo a termo. Vou mostrar a derivada de cada termo separadamente (a soma final estará na seção de resposta):
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Pela linearidade, a terceira derivada é a soma desses termos (veja a resposta final).