Encontre a terceira derivada de f(x)=x^{5}-2 x^{4}+x^{3}-40 x+18.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos:
  • O enunciado pede: calcular a terceira derivada da função f.
  • A função dada é f(x)=x^{5}-2x^{4}+x^{3}-40x+18.
  • Objetivo explícito: encontrar f^{(3)}(x) (a terceira derivada de f).

Passo 2

Conceitos e regras que vamos usar (explicadinho, sem pular etapas):
  • Derivada: a derivada de uma função em relação a x mede a taxa de variação instantânea dessa função quando x varia. Para polinômios vamos usar regras algébricas simples (não precisamos do limite formal na prova se sabemos as regras abaixo).
  • Linearidade da derivada: a derivada de uma soma é a soma das derivadas e constantes multiplicativas saem na frente. Em símbolos:
\frac{d}{dx}\big( a\cdot g(x) + b\cdot h(x)\big)= a\cdot g'(x)+ b\cdot h'(x),
onde a,b são constantes e g,h funções diferenciáveis.
  • Regra do potência (power rule): se g(x)=x^{n} com n sendo um número real (no nosso caso inteiro não-negativo), então
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n x^{n-1}.
Aqui n é o expoente e x a variável. Exemplo rápido: \dfrac{d}{dx}(x^{4})=4x^{3}.
  • Derivada de termo linear e constante:
    • Se g(x)=ax com a constante, então g'(x)=a.
    • Se c é constante, então \dfrac{d}{dx}\text{(c)}=0.
Essas três ideias (linearidade, regra da potência e derivadas de termos simples) bastam para derivar polinômios termo a termo.

Passo 3

Calcular a primeira derivada f'(x) termo a termo, aplicando a regra do potência e a linearidade:
  • Derivada de x^{5} é 5x^{4}, pois pela regra do potência n=5 5x^{5-1}=5x^{4}.
  • Derivada de -2x^{4}: a constante -2 sai na frente e aplicamos a regra do potência com n=4, então dá -2\cdot 4x^{3}=-8x^{3}.
  • Derivada de x^{3} é 3x^{2}.
  • Derivada de -40x é -40 (termo linear).
  • Derivada de 18 é 0 (constante).
Somando os resultados (pela linearidade), obtemos
f'(x)=5x^{4}-8x^{3}+3x^{2}-40.

Passo 4

Calcular a segunda derivada f''(x) derivando f'(x) termo a termo:
  • Derivada de 5x^{4} é 5\cdot 4x^{3}=20x^{3}.
  • Derivada de -8x^{3} é -8\cdot 3x^{2}=-24x^{2}.
  • Derivada de 3x^{2} é 3\cdot 2x=6x.
  • Derivada de -40 é 0.
Somando:
f''(x)=20x^{3}-24x^{2}+6x.
Observação pedagógica: se quiser simplificar pode fatorar f''(x) por 2x, ficando f''(x)=2x(10x^{2}-12x+3); isso não é necessário, mas às vezes ajuda a ver padrões.

Passo 5

Calcular a terceira derivada f^{(3)}(x)=f'''(x) derivando f''(x) termo a termo. Vou mostrar a derivada de cada termo separadamente (a soma final estará na seção de resposta):
  • Derivada de 20x^{3} é 20\cdot 3x^{2}=60x^{2}.
  • Derivada de -24x^{2} é -24\cdot 2x=-48x.
  • Derivada de 6x é 6.
Pela linearidade, a terceira derivada é a soma desses termos (veja a resposta final).

Resposta

f^{(3)}(x)=60x^{2}-48x+6

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