Encontre um contra exemplo para cada uma das seguintes afirmações, justificando sua resposta. Aqui
é um intervalo de
.
Se
é tal que para algum
tem-se
, então
é um ponto de máximo ou mínimo local de
.
Se
Passo 1
O enunciado afirma que, se
é diferenciável em
e
, então
é necessariamente ponto de máximo ou mínimo local de
. O conteúdo aqui é cálculo diferencial: sabemos que
é condição necessária para extremo local, mas não é condição suficiente.
Passo 2
Para dar um contraexemplo, consideremos a função
Ela é diferenciável em todo
.
Passo 3
Calculamos a derivada:
logo em
temos
Passo 4
Para verificar que
não é nem máximo nem mínimo local, note que:
- Se
e muito próximo de 0, então . - Se
e muito próximo de 0, então .
Assim, em qualquer vizinhança de 0 existem pontos cujo valor de
é maior que
e pontos cujo valor é menor que
, logo não há nem máximo nem mínimo local em 0.
Resposta
Um contraexemplo é
pois
mas
não é ponto de extremo local de
.