Encontre um contra exemplo para cada uma das seguintes afirmações, justificando sua resposta. Aqui I é um intervalo de R.
Se f: I R é tal que para algum a in int(I) tem-se f^prime(a)=0, então a é um ponto de máximo ou mínimo local de f.

Passo 1

O enunciado afirma que, se fcolon ItoR é diferenciável em ainint(I) e f'(a)=0, então a é necessariamente ponto de máximo ou mínimo local de f. O conteúdo aqui é cálculo diferencial: sabemos que f'(a)=0 é condição necessária para extremo local, mas não é condição suficiente.

Passo 2

Para dar um contraexemplo, consideremos a função
f(x)=x^3, xinR
Ela é diferenciável em todo R.

Passo 3

Calculamos a derivada:
f'(x)=3x^2,
logo em a=0 temos
f'(0)=3cdot0^2=0

Passo 4

Para verificar que x=0 não é nem máximo nem mínimo local, note que:
  • Se x>0 e muito próximo de 0, então f(x)=x^3>0=f(0).
  • Se x<0 e muito próximo de 0, então f(x)=x^3<0=f(0).
Assim, em qualquer vizinhança de 0 existem pontos cujo valor de f é maior que f(0) e pontos cujo valor é menor que f(0), logo não há nem máximo nem mínimo local em 0.

Resposta

Um contraexemplo é
f(x)=x^3,
pois f'(0)=0 mas 0 não é ponto de extremo local de f.

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