Obtenha o desenvolvimento em série de Fourier das funções:
(a) f(x)=|sen x|

Passo 1

Estamos buscando a série de Fourier de período 2pi da função
f(x)=|sin x|
no intervalo -pi<= x<=pi.
Como f é par, a série terá apenas termos em cosseno. Para isso, vamos calcular o coeficiente constante a0 e os coeficientes an de
f(x)=a02+sumn=1^inftyancos(nx)

Passo 2

Por paridade, todos os coeficientes de seno são nulos ( bn=0), e
an=1piintegral-pi^pi|sin x|cos(nx),dx =2piintegral0^pisin xcos(nx),dx

Passo 3

Cálculo de a0:
a0=1piintegral-pi^pi|sin x|,dx =2piintegral0^pisin x,dx =2pil[-cos xr]0^pi =2pi(2) =4pi

Passo 4

Cálculo de In=integral0^pisin xcos(nx),dx. Usamos produto-para-soma:
sin xcos(nx) =tfrac12l(sin((n+1)x)+sin((1-n)x)r)
Logo
In =tfrac12integral0^pisin((n+1)x),dx +tfrac12integral0^pisin((1-n)x),dx
Cada integral vale 0 se o argumento é múltiplo par de x, ou
2k se for ímpar, conforme
integral0^pisin(kx),dx=1-(-1)^kk.

Passo 5

Deste modo obtém-se
In= dfrac21-n^2,&n par, 0,&n ímpar í
E então
an=2piIn = 4pi(1-n^2),&n par,[6pt] 0,&n ímpar í
Escrevendo n=2k ( k>=1) dá
a2k =4pi(1-4k^2) =-4pi(4k^2-1)
]

Passo 6

Reunindo tudo, temos
f(x)=|sin x| =a02+sumk=1^inftya2kcos(2kx) =2pi -4pisumk=1^inftycos(2kx)4k^2-1

Resposta

|sin x| =2pi -4pisumk=1^inftycos(2kx)4k^2-1

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