Encontre um contra exemplo para cada uma das seguintes afirmações, justificando sua resposta. Aqui I é um intervalo de R.
Se f: I R é derivável e crescente então f^prime(x)>0 para todo x in X.

Passo 1

O enunciado afirma que “se fcolon ItoR é derivável e crescente, então f'(x)>0 para todo xin I”. Vamos dar um contraexemplo: encontrar uma função derivável e crescente em todo um intervalo, mas cuja derivada se anule em algum ponto.

Passo 2

Considere a função
f(x)=x^3,
definida em I=R.

Passo 3

Primeiro, f é claramente derivável em todo R pois é um polinômio. Além disso, para quaisquer x<y temos
x^3<y^3,
logo f é estritamente crescente em R.

Passo 4

Agora calculemos a derivada:
f'(x)=3x^2
Note que para todo x vale f'(x)=3x^2>=0, o que coincide com o fato de f ser crescente. Porém, em x=0 temos
f'(0)=3cdot0^2=0,
que não é estritamente positivo.

Resposta

A função f(x)=x^3 em I=R é derivável e crescente, mas f'(0)=0, mostrando que a afirmação “ f'(x)>0 em todo ponto” é falsa.

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