Encontre um contra exemplo para cada uma das seguintes afirmações, justificando sua resposta. Aqui
é um intervalo de
.
Se
é derivável e crescente então
para todo
.
Se
Passo 1
O enunciado afirma que “se
é derivável e crescente, então
para todo
”. Vamos dar um contraexemplo: encontrar uma função derivável e crescente em todo um intervalo, mas cuja derivada se anule em algum ponto.
Passo 2
Considere a função
definida em
.
Passo 3
Primeiro,
é claramente derivável em todo
pois é um polinômio. Além disso, para quaisquer
temos
logo
é estritamente crescente em
.
Passo 4
Agora calculemos a derivada:
Note que para todo
vale
, o que coincide com o fato de
ser crescente. Porém, em
temos
que não é estritamente positivo.
Resposta
A função
em
é derivável e crescente, mas
, mostrando que a afirmação “
em todo ponto” é falsa.