Obtenha o desenvolvimento da função f(x)=cos x em série de senos, válido para todo x no intervalo 0<x<pi. Observe que a extensão impar da função f(x) e f^prime(x) são contínuas por intervalo e seus coeficientes decrescem a 0 na ordem de 1n.

Passo 1

O enunciado pede a expansão de cos x em série de senos no intervalo 0<x<pi. Como só aparecem senos, estamos fazendo a extensão ímpar de f(x)=cos x para -pi<x<pi. Para isso, vamos usar a fórmula da série de Fourier em senos, cujos coeficientes decaem na ordem de 1/n dado que a extensão ímpar de f e f' são contínuas por intervalo.

Passo 2

Em série de senos, escrevemos
f(x)=sumn=1^inftybnsin(n x),
onde os coeficientes são
bn=2piintegral0^pif(x),sin(n x),dx
No nosso caso f(x)=cos x, então
bn=2piintegral0^picos x,sin(n x),dx

Passo 3

Para calcular a integral, usamos a identidade produto-soma:
cos x,sin(n x) =tfrac12l[sin((n+1)x)+sin((n-1)x)r]
Logo,
integral0^picos x,sin(n x),dx =12integral0^pil[sin((n+1)x)+sin((n-1)x)r]dx =1+(-1)^n2l(1n+1+1n-1r)
Substituindo em bn, obtém-se
bn =2picdot1+(-1)^n2l(1n+1+1n-1r) =1+(-1)^npil(1n+1+1n-1r)

Passo 4

Agora note que
1n+1+1n-1 =2nn^2-1,
logo
bn=1+(-1)^npi,2nn^2-1
Isso implica que para n ímpar l(1+(-1)^n=0r) temos bn=0, e para n=2k par
b2k=2cdot2kpi((2k)^2-1)cdot2 =8kpi(4k^2-1)
Para grandes k, b2ksim2pi k, decaindo na ordem 1/k.

Passo 5

Portanto a série de senos que representa cos x em 0<x<pi é
cos x =sumk=1^inftyb2k,sin(2k x) =sumk=1^infty8kpi(4k^2-1)sin(2k x) =8pisumk=1^inftyk4k^2-1,sin(2k x)

Resposta

boxedcos x=8pisumk=1^inftyk4k^2-1,sin(2k x), 0<x<pi

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