Obtenha o desenvolvimento da função
em série de senos, válido para todo
no intervalo
. Observe que a extensão impar da função
e
são contínuas por intervalo e seus coeficientes decrescem a 0 na ordem de
.
Passo 1
O enunciado pede a expansão de
em série de senos no intervalo
. Como só aparecem senos, estamos fazendo a extensão ímpar de
para
. Para isso, vamos usar a fórmula da série de Fourier em senos, cujos coeficientes decaem na ordem de
dado que a extensão ímpar de
e
são contínuas por intervalo.
Passo 2
Em série de senos, escrevemos
onde os coeficientes são
No nosso caso
, então
Passo 3
Para calcular a integral, usamos a identidade produto-soma:
Logo,
Substituindo em
, obtém-se
Passo 4
Agora note que
logo
Isso implica que para
ímpar
temos
, e para
par
Para grandes
,
, decaindo na ordem
.
Passo 5
Portanto a série de senos que representa
em
é