Use um método adequado e resolva as integrais abaixo:
integral sec ^2(x)[1+tg(x)]^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral sec^2(x)l[1+tan(x)r]^2,dx
O conteúdo aqui é reconhecimento de uma derivada de função composta: sabemos que a derivada de tan(x) é sec^2(x). Logo, um método adequado é a substituição u=tan(x).

Passo 2

Fazendo a substituição
u = tan(x), du = sec^2(x),dx,
a integral em x vira uma integral em u:
integral sec^2(x)l[1+tan(x)r]^2,dx = integral du(1+u)^2

Passo 3

Agora precisamos calcular
integral du(1+u)^2
Essa é uma integral de potência: se você lembrar que
ddul[(1+u)^-1r] = -1cdot(1+u)^-2,
então
integral (1+u)^-2,du = -,(1+u)^-1 + C

Passo 4

Basta voltar à variável original x, lembrando que u=tan(x):
-,(1+u)^-1 + C = -11+tan(x) + C

Resposta

-11+tan(x) + C

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