Encontre a convolução f(t) * g(t).
f(t)=t, g(t)=1

Passo 1

O enunciado pede a convolução de duas funções no tempo contínuo: temos f(t)=t (assumindo f(t)=t·u(t)) e g(t)=1 (assumindo g(t)=u(t)). O conteúdo é a propriedade de convolução e vamos usar a definição integral para resolver.

Passo 2

A definição de convolução de duas funções f(t) e g(t) é
(f * g)(t)=integral-infty^+inftyf(tau),g(t-tau),dtau

Passo 3

Como f(τ)=τ·u(τ) e g(t−τ)=u(t−τ), o produto f(τ)g(t−τ)=τ sempre que τ∈[0,t], e zero fora desse intervalo. Então podemos reescrever a integral com limites de 0 a t:
(f * g)(t)=integral0^ttau,dtau

Passo 4

Agora basta calcular a integral de τ de 0 a t. Usando a primitiva de τ, que é τ²/2, obtemos:
(f * g)(t)=[tau^22]0^t=t^22

Resposta

$ (f * g)(t)=\frac{t^{2}}{2},u(t)$

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