Estude o comportamento das séries quanto a convergência absoluta, condicional ou divergência.
(Valor= 1,0 cada)
(Valor= 1,0 cada)
Passo 1
O problema pede para estudar a convergência da série alternante
. O conteúdo é o Teste de Leibniz (séries alternantes) e análise de convergência absoluta via Teste de Comparação.
Passo 2
Definimos
. Note que para
temos
. Calculamos o limite:
Além disso, considere a função
para
. Sua derivada é
o que mostra que
é decrescente a partir de
.
Passo 3
Pelo Teste de Leibniz, uma série alternante cujos termos
são positivos, decrescentes e tendem a zero converge. Logo
converge.
Passo 4
Para verificar convergência absoluta, estudamos
. Para
grande,
, pois
implica
. Assim
Como
diverge, por comparação direta
também diverge. Portanto não há convergência absoluta.
Passo 5
Concluímos que a série converge, mas não absolutamente. Isto significa que ela converge condicionalmente.
Resposta
A série converge condicionalmente.