Estude o comportamento das séries quanto a convergência absoluta, condicional ou divergência.
(Valor= 1,0 cada)
sumn=1(-1)^n 11+2 ln n

Passo 1

O problema pede para estudar a convergência da série alternante sumn=1^infty(-1)^n11+2ln n. O conteúdo é o Teste de Leibniz (séries alternantes) e análise de convergência absoluta via Teste de Comparação.

Passo 2

Definimos an=11+2ln n. Note que para n>=2 temos an>0. Calculamos o limite:
limntoinftyan=limntoinfty11+2ln n=0
Além disso, considere a função f(x)=1/(1+2ln x) para x>1. Sua derivada é
f'(x)=-2/x(1+2ln x)^2<0,
o que mostra que an=f(n) é decrescente a partir de n=2.

Passo 3

Pelo Teste de Leibniz, uma série alternante cujos termos an são positivos, decrescentes e tendem a zero converge. Logo sum(-1)^nan converge.

Passo 4

Para verificar convergência absoluta, estudamos sumn=1^infty an=sumn=1^infty11+2ln n. Para n grande, 1+2ln n<=3n, pois ln n implica 1+2ln n<1+2n<3n. Assim
11+2ln n>=13n
Como sum1/n diverge, por comparação direta sum an também diverge. Portanto não há convergência absoluta.

Passo 5

Concluímos que a série converge, mas não absolutamente. Isto significa que ela converge condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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