Encontre a convolução f(t) * g(t).
f(t)=t^2, g(t)=cos t

Passo 1

O enunciado pede para achar a convolução de duas funções de tempo: f(t)=t^2 e g(t)=cos t. Esse conteúdo faz parte de sistemas lineares e tempo contínuo, e a gente vai precisar usar definição de convolução ou, de forma mais prática, a propriedade de transformada de Laplace, já que a convolução no domínio do tempo vira produto no domínio de Laplace.

Passo 2

Vamos usar a definição de transformada de Laplace e a propriedade Lf*g(s)=Lf(s)cdotLg(s). Depois a gente faz a inversa para voltar ao tempo.

Passo 3

Primeiro, calculamos as transformadas individuais:
Lt^2(s)=integral0^inftyt^2 e^-stdt=2s^3
Lcos t(s)=ss^2+1
Multiplicamos essas duas para obter H(s)=Lf*g(s):
$$
H(s)=\frac{2}{s3}\cdot\frac{s}{s2+1}=\frac{2}{s2,(s2+1)}$$

Passo 4

Agora fazemos fração parcial em H(s)=2s^2(s^2+1). Escrevemos
2s^2(s^2+1)=As+Bs^2+Cs+Ds^2+1
Multiplicando em cruz e comparando coeficientes, obtemos
$$
A=0,\quad B=2,\quad C=0,\quad D=-2. A=0, B=2, C=0, D=-2
H(s)=\frac{2}{s2}-\frac{2}{s2+1}.$$

Passo 5

Por fim aplicamos a tabela inversa de Laplace:
L^-1l2s^2r(t)=2t,L^-1l2s^2+1r(t)=2sin t
Isso nos dá a convolução em tempo:
$$
(f*g)(t)=2t-2\sin t.$$

Resposta

(f*g)(t)=2t-2sin t

Exercícios relacionados