Encontre a convolução
.
Passo 1
O enunciado pede para achar a convolução de duas funções de tempo:
e
. Esse conteúdo faz parte de sistemas lineares e tempo contínuo, e a gente vai precisar usar definição de convolução ou, de forma mais prática, a propriedade de transformada de Laplace, já que a convolução no domínio do tempo vira produto no domínio de Laplace.
Passo 2
Vamos usar a definição de transformada de Laplace e a propriedade
. Depois a gente faz a inversa para voltar ao tempo.
Passo 3
Primeiro, calculamos as transformadas individuais:
Multiplicamos essas duas para obter
$$
H(s)=\frac{2}{s3}\cdot\frac{s}{s2+1}=\frac{2}{s2,(s2+1)}$$
Passo 4
Agora fazemos fração parcial em
. Escrevemos
Multiplicando em cruz e comparando coeficientes, obtemos
$$
A=0,\quad B=2,\quad C=0,\quad D=-2.
H(s)=\frac{2}{s2}-\frac{2}{s2+1}.$$
Passo 5
Por fim aplicamos a tabela inversa de Laplace:
Isso nos dá a convolução em tempo:
$$
(f*g)(t)=2t-2\sin t.$$