Estude o comportamento das séries quanto a convergência absoluta, condicional ou divergência.
(Valor= 1,0 cada)
sumn=1(-1)^n n^nn!

Passo 1

O exercício pede para estudar a série alternada sumn=1^infty (-1)^n n^nn!. O conteúdo envolve teste de convergência absoluta (teste da razão) e teste de convergência de séries alternadas (teste do termo ou de Leibniz).

Passo 2

Para verificar convergência absoluta, aplicamos o teste da razão em |an|=n^nn!:
L=limntoinfty|an+1||an| =limntoinfty(n+1)^n+1/(n+1)!n^n/n! =limntoinfty(n+1)^n+1(n+1),n^n =limntoinftyl(1+tfrac1nr)^n=e
Como L=e>1, a série de termos absolutos diverge, ou seja, não há convergência absoluta.

Passo 3

Para ver se há convergência condicional, basta observar o termo geral bn=n^nn!. Usando o teste do termo
limntoinftybn=limntoinftyn^nn!=infty
é claro que bn não tende a zero. Logo, mesmo sendo alternada, a série não converge (falha o teste do termo).

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados