Encontre a convolução
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Passo 1
O enunciado pede para calcular a convolução das funções causais f(t)=t e g(t)=e^{a t}. O conteúdo envolvido é definição de convolução em tempo contínuo, e vamos precisar usar a integral de convolução e técnicas de integração por partes.
Passo 2
A definição de convolução para sinais causais é:
Aqui, f(τ)=τ e g(t−τ)=e^{a(t−τ)}.
Passo 3
Substituindo f e g na integral, obtemos:
Podemos fatorar e^{a t} fora da integral porque não depende de τ:
Passo 4
Passo 5
Para calcular I=∫_{0}^{t}τ e^{-aτ} dτ, usamos integração por partes. Escolhemos:
$$
u=τ,\quad dv=e^{-aτ}dτ
du=dτ,\quad v=\int e{-aτ}dτ=-\frac{1}{a}e{-aτ}
I=uv\big|{0}{t}-\int_{0}{t}v,du
=\Bigl(-\frac{τ}{a}e{-aτ}\Bigr)\Big|_{0}{t}+\frac{1}{a}\int{0}{t}e{-aτ}dτ
=\Bigl(-\frac{τ}{a}e{-aτ}\Bigr)\Big|_{0}{t}+\frac{1}{a}\int{0}{t}e{-aτ}dτ
$$
Passo 6
Calculando os termos:
E
Logo:
Passo 7
Voltando à convolução:
Simplificando cada termo:
Passo 8
Resposta
$ (f*g)(t)=\frac{e^{a t}-1-a t}{a^{2}}$