Encontre a convolução f(t) * g(t).
f(t)=t, g(t)=e^a t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a convolução das funções causais f(t)=t e g(t)=e^{a t}. O conteúdo envolvido é definição de convolução em tempo contínuo, e vamos precisar usar a integral de convolução e técnicas de integração por partes.

Passo 2

A definição de convolução para sinais causais é:
(f*g)(t)=integral0^tf(tau),g(t-tau),dtau
Aqui, f(τ)=τ e g(t−τ)=e^{a(t−τ)}.

Passo 3

Substituindo f e g na integral, obtemos:
(f*g)(t)=integral0^tτ,e^a(t-τ),dτ
Podemos fatorar e^{a t} fora da integral porque não depende de τ:

Passo 4

(f*g)(t)=e^a tintegral0^tτ,e^-aτ,dτ

Passo 5

Para calcular I=∫_{0}^{t}τ e^{-aτ} dτ, usamos integração por partes. Escolhemos:
$$
u=τ,\quad dv=e^{-aτ}dτ u=τ,, dv=e^-aτdτã
du=dτ,\quad v=\int e{-aτ}dτ=-\frac{1}{a}e{-aτ}
du=dτ,, v=integral e^-aτdτ=-1ae^-aτ ó
I=uv\big|{0}{t}-\int_{0}{t}v,du
=\Bigl(-\frac{τ}{a}e{-aτ}\Bigr)\Big|_{0}{t}+\frac{1}{a}\int
{0}{t}e{-aτ}dτ
$$

Passo 6

Calculando os termos:
-τae^-aτ|0^t=-tae^-a t-0
E
integral0^te^-aτdτ=l[-1ae^-aτr]0^t=-1ae^-a t+1a
Logo:
I=-tae^-a t+1al(-1ae^-a t+1ar) =-tae^-a t-1a^2e^-a t+1a^2

Passo 7

Voltando à convolução:
(f*g)(t)=e^a t,I =e^a tl(-tae^-a t-1a^2e^-a t+1a^2r)
Simplificando cada termo:

Passo 8

(f*g)(t)=-ta-1a^2+e^a ta^2

Resposta

$ (f*g)(t)=\frac{e^{a t}-1-a t}{a^{2}}$

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