Encontre a convolução f(t) * g(t).
f(t)=e^a t, g(t)=e^b t,(a neq b)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a convolução de duas exponenciais causais, ou seja, f(t)=e^{a t} e g(t)=e^{b t}, assumindo-se f(t)=0 e g(t)=0 para t<0. Vamos usar a definição de convolução em sinais causais.

Passo 2

A definição de convolução para sinais causais é
(f * g)(t)=integral0^t f(tau),g(t-tau),dtau

Passo 3

Substituindo f(\tau)=e^{a\tau} e g(t-\tau)=e^{b(t-\tau)} dentro da integral, obtemos
(f * g)(t)=integral0^t e^ataue^b(t-tau),dtau

Passo 4

Fatorando o termo que não depende de tau, temos
(f * g)(t)=e^b tintegral0^t e^(a-b)tau,dtau

Passo 5

Reconhecendo uma integral de exponencial, calculamos
integral0^t e^(a-b)tau,dtau=e^(a-b)t-1a-b, pois aneq b.

Passo 6

Multiplicando de volta por e^b t e arrumando, chegamos ao resultado fechado
(f * g)(t)=e^a t-e^b ta-b

Resposta

(f * g)(t)=e^a t-e^b ta-b

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