Encontre as coordenadas cilíndricas do ponto dado em coordenadas cartesianas.
(2 raiz3, 2,-1);

Passo 1

O enunciado pede para converter o ponto dado em coordenadas cartesianas $x,y,z$ para coordenadas cilíndricas $r,\theta,z$. Vamos usar que em cilíndricas \r = \sqrt{x^2 + y^2}\, \theta = \operatorname{atan2}(y,x)\ e a coordenada \z\ permanece igual.

Passo 2

Calculamos o raio \r\ usando a fórmula de distância no plano xy:
[ r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{12 + 4} = 4 ]

Passo 3

Para o ângulo \theta\, usamos \theta = \operatorname{atan2}(y,x)\, que dá o ângulo cujo tangente é \tfrac{y}{x}\ e leva em conta o quadrante. Aqui x > 0 e y > 0, então estamos no primeiro quadrante:
[ \theta = \arctan\bigl(\tfrac{2}{2\sqrt{3}}\bigr) = \arctan\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr) = \tfrac{\pi}{6} ]

Passo 4

A coordenada \z\ em cilíndricas é a mesma do original, ou seja, \z = -1\.

Resposta

(r, θ, z) = (4, π/6, -1)

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