Seja
uma função sujeita à restrição
. Para determinarmos os pontos de máximo ou mínimo pelo método dos multiplicadores de Lagrange
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função
e uma restrição
. O objetivo é encontrar os pontos de máximo ou mínimo dessa função usando o método dos multiplicadores de Lagrange. Para isso, vamos precisar entender como aplicar esse método, que nos ajuda a encontrar extremos de funções sujeitas a restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a restrição de forma mais simples:
. O método dos multiplicadores de Lagrange envolve introduzir uma nova variável, chamada multiplicador de Lagrange (
), e criar uma nova função chamada função Lagrangiana. Ela é dada por:
Onde
e
. Então, nossa função Lagrangiana fica:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os pontos onde as derivadas parciais da Lagrangiana em relação a
,
e
são iguais a zero. Ou seja, resolveremos o seguinte sistema de equações:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
- Em relação a
:
- Em relação a
:
- Em relação a
:
Passo 5
Agora, temos o seguinte sistema de equações:
Como
e
, podemos igualar as duas expressões:
Passo 6
Substituindo
na equação da restrição
:
Como
, então
.
Passo 7
Agora sabemos que
e
. Para encontrar
, substituímos
em
:
Resposta
O ponto de mínimo da função
sujeito à restrição
ocorre em
.