Seja f(x, y)=x^2+y^2 uma função sujeita à restrição x+y-4=0. Para determinarmos os pontos de máximo ou mínimo pelo método dos multiplicadores de Lagrange

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função e uma restrição . O objetivo é encontrar os pontos de máximo ou mínimo dessa função usando o método dos multiplicadores de Lagrange. Para isso, vamos precisar entender como aplicar esse método, que nos ajuda a encontrar extremos de funções sujeitas a restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a restrição de forma mais simples: L(x, y, lambda) = f(x, y) - lambda (g(x, y) - c) . O método dos multiplicadores de Lagrange envolve introduzir uma nova variável, chamada multiplicador de Lagrange ( L(x, y, lambda) = x^2 + y^2 - lambda (x + y - 4) ), e criar uma nova função chamada função Lagrangiana. Ela é dada por:
Onde e . Então, nossa função Lagrangiana fica:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos onde as derivadas parciais da Lagrangiana em relação a partial Lpartial x = 0 partial Lpartial y = 0 partial Lpartial lambda = 0 , e são iguais a zero. Ou seja, resolveremos o seguinte sistema de equações:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
  1. Em relação a partial Lpartial x = 2x - lambda = 0 Rightarrow 2x = lambda Rightarrow lambda = 2x :
partial Lpartial y = 2y - lambda = 0 Rightarrow 2y = lambda Rightarrow lambda = 2y
  1. Em relação a partial Lpartial lambda = -(x + y - 4) = 0 Rightarrow x + y = 4 :
  1. Em relação a :

Passo 5

Agora, temos o seguinte sistema de equações:
lambda = 2x lambda = 2y x + y = 4
Como 2x = 2y Rightarrow x = y e , podemos igualar as duas expressões:

Passo 6

Substituindo x + x = 4 Rightarrow 2x = 4 Rightarrow x = 2 na equação da restrição :
Como , então .

Passo 7

Agora sabemos que lambda = 2 times 2 = 4 e . Para encontrar , substituímos em :

Resposta

O ponto de mínimo da função sujeito à restrição ocorre em .

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