Comparando com v=\begin{pmatrix}2&3\\[3pt]4&-7\end{pmatrix}\), obtemos o sistema
\[\begin{cases} c_{1}-c_{3}+c_{4}=2,\\[4pt] c_{1}=3,\\[4pt] c_{1}=4,\\[4pt] c_{2}=-7. \end{cases}
Das segundas e terceiras equações ficaria c_{1}=3\] e \(c_{1}=4, o que é impossível.]
Passo 4
A contradição mostra que não existe (c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}) resolvendo o sistema. Em outras palavras, v não está no span de S e portanto Snão é uma base de M_{2}(\mathbb{R}).
Resposta
Não existem coordenadas de v em relação a S, pois S não gera todo M_{2}(\mathbb{R}).