Encontre as coordenadas de
v=\left(\begin{array}{cc} 2 & 3 \\\\ 4 & -7 \end{array}\right)
no espaço vetorial real M_{2}(\mathbb{R}) em relação à base
S=\left\{\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}-1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right)\right\};

Passo 1

O enunciado pede para escrever
v=\begin{pmatrix}2 & 3\\[6pt]4 & -7\end{pmatrix}
como combinação linear das matrizes da coleção
S=\Bigl\{\,b_{1}=\begin{pmatrix}1&1\\[3pt]1&0\end{pmatrix},\; b_{2}=\begin{pmatrix}0&0\\[3pt]0&1\end{pmatrix},\; b_{3}=\begin{pmatrix}-1&0\\[3pt]0&0\end{pmatrix},\; b_{4}=\begin{pmatrix}1&0\\[3pt]0&0\end{pmatrix}\Bigr\}.
O conteúdo é “coordenadas de um vetor num espaço vetorial” e vamos precisar montar um sistema para os coeficientes c_{1},c_{2},c_{3},c_{4} tais que
c_{1}b_{1}+c_{2}b_{2}+c_{3}b_{3}+c_{4}b_{4}=v.]

Passo 2

Escrevendo a combinação linear em cada entrada, temos
c_{1}\begin{pmatrix}1&1\\[3pt]1&0\end{pmatrix} + c_{2}\begin{pmatrix}0&0\\[3pt]0&1\end{pmatrix} + c_{3}\begin{pmatrix}-1&0\\[3pt]0&0\end{pmatrix} + c_{4}\begin{pmatrix}1&0\\[3pt]0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_{1}-c_{3}+c_{4} & c_{1}\\[3pt] c_{1} & c_{2} \end{pmatrix}.]

Passo 3

Comparando com v=\begin{pmatrix}2&3\\[3pt]4&-7\end{pmatrix}\), obtemos o sistema \[\begin{cases} c_{1}-c_{3}+c_{4}=2,\\[4pt] c_{1}=3,\\[4pt] c_{1}=4,\\[4pt] c_{2}=-7. \end{cases}
Das segundas e terceiras equações ficaria c_{1}=3\] e \(c_{1}=4, o que é impossível.]

Passo 4

A contradição mostra que não existe (c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}) resolvendo o sistema. Em outras palavras, v não está no span de S e portanto S não é uma base de M_{2}(\mathbb{R}).

Resposta

Não existem coordenadas de v em relação a S, pois S não gera todo M_{2}(\mathbb{R}).

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