Seja V=M_{2}(\mathbb{R}) e seja W o subespaço gerado por
\left(\begin{array}{cc} 1 & -5 \\\\ -4 & 2 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\\\ -1 & 5 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} 2 & -5 \\\\ -4 & 7 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} 1 & -5 \\\\ -1 & 7 \end{array}\right)
Encontre uma base, e a dimensão de W.

Passo 1

O enunciado pede o subespaço W\subset V=M_{2}(\mathbb{R}) gerado por quatro matrizes dadas. O objetivo é determinar uma base de W (isto é, um subconjunto linearmente independente que gere W) e sua dimensão. Vamos usar o fato de que M_{2}(\mathbb{R}) tem dimensão 4 e verificar se as quatro matrizes são independentes.

Passo 2

Associamos cada matriz à um vetor em \mathbb{R}^{4} na ordem (a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}):
v_{1} = (1,\,-5,\,-4,\,2), \quad v_{2} = (1,\,-1,\,-1,\,5), \quad v_{3} = (2,\,-5,\,-4,\,7), \quad v_{4} = (1,\,-5,\,-1,\,7).
Então formamos a matriz de coeficientes com estas linhas:
M = \begin{pmatrix} 1 & -5 & -4 & 2\\\\ 1 & -1 & -1 & 5\\\\ 2 & -5 & -4 & 7\\\\ 1 & -5 & -1 & 7 \end{pmatrix}.

Passo 3

Fazemos eliminação de Gauss em M:
\begin{pmatrix} 1 & -5 & -4 & 2\\\\ 1 & -1 & -1 & 5\\\\ 2 & -5 & -4 & 7\\\\ 1 & -5 & -1 & 7 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{R_{2}\to R_{2}-R_{1},\,R_{3}\to R_{3}-2R_{1},\,R_{4}\to R_{4}-R_{1}}\; \begin{pmatrix} 1 & -5 & -4 & 2\\\\ 0 & 4 & 3 & 3\\\\ 0 & 5 & 4 & 3\\\\ 0 & 0 & 3 & 5 \end{pmatrix}
\;\xrightarrow{R_{3}\to R_{3}-\tfrac{5}{4}R_{2}}\; \begin{pmatrix} 1 & -5 & -4 & 2\\\\ 0 & 4 & 3 & 3\\\\ 0 & 0 & \tfrac14 & -\tfrac34\\\\ 0 & 0 & 3 & 5 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{R_{4}\to R_{4}-12\,R_{3}}\; \begin{pmatrix} 1 & -5 & -4 & 2\\\\ 0 & 4 & 3 & 3\\\\ 0 & 0 & \tfrac14 & -\tfrac34\\\\ 0 & 0 & 0 & 14 \end{pmatrix}.
Encontramos pivôs nas quatro colunas, logo o posto de M é 4.

Passo 4

Como o posto é 4 e \dim M_{2}(\mathbb{R})=4, concluímos que os quatro vetores são linearmente independentes e geram todo M_{2}(\mathbb{R}). Assim W=M_{2}(\mathbb{R}).

Resposta

Uma base de W é exatamente o conjunto gerador original:
\Bigl\{ \begin{pmatrix}1 & -5\\\ -4 & 2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 & -1\\\ -1 & 5\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}2 & -5\\\ -4 & 7\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 & -5\\\ -1 & 7\end{pmatrix} \Bigr\},
e \dim W = 4.

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