U=\{(x, y, z) ; x+y-z=0\} \quad \text { e } \quad W=\{(x, y, z) ; x=y\}
Encontre:
(a) Uma base de U+W e \operatorname{dim}(U+W); \mathbb{R}^{3}=U \oplus W ? (O símbolo \oplus indica soma direta)
(b) Uma base de U \cap W e \operatorname{dim}(U \cap W);
(c) Conclua que \operatorname{dim} \mathbb{R}^{3}=\operatorname{dim} U+\operatorname{dim} W-\operatorname{dim}(U \cap W).
Passo 1
O enunciado define em \mathbb{R}^3 os subespaços
U=\{(x,y,z)\mid x+y-z=0\},
W=\{(x,y,z)\mid x=y\},
e pede:
a) uma base de U+W, sua dimensão e se \mathbb{R}^3=U\oplus W;
b) uma base de U\cap W e sua dimensão;
c) mostrar que \dim\mathbb{R}^3=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W).
Para isso vamos parametrizar cada subespaço, achar bases e calcular soma direta e interseção.
Passo 2
Parametrizamos U e W e extraímos bases e dimensões:
Como x+y-z=0 em U, temos z=x+y, logo
U=\{(x,y,x+y)\mid x,y\in\mathbb{R}\}
e podemos escolher
u_1=(1,0,1),\quad u_2=(0,1,1)
como base de U. Assim \dim U=2.
Como x=y em W, escrevemos
W=\{(x,x,z)\mid x,z\in\mathbb{R}\}
e uma base é
w_1=(1,1,0),\quad w_2=(0,0,1).
Logo \dim W=2.
Passo 3
Para encontrar U+W, basta juntar vetores de U e W. Note que \{u_1,u_2,w_1\} são três vetores em \mathbb{R}^3. Calculando o determinante
(a) Uma base de U+W é \{(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0)\}, \dim(U+W)=3. Não vale \mathbb{R}^3=U\oplus W porque U\cap W\neq\{0\}.
(b) Uma base de U\cap W é \{(1,1,2)\}, \dim(U\cap W)=1.
(c) De fato