Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma transformação linear dada pela matriz A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 3 & 1 \\\\ 3 & 5 & 1 \\\\ -2 & -4 & 0\end{array}\right).
(a) T é injetora? Justifique. Caso T não seja injetora, determine um elemento não nulo no espaço nulo da matriz A.

Passo 1

O enunciado diz que T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 é a transformação linear cuja matriz, na base canônica, é
A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1\\\\ 3 & 5 & 1\\\\ -2 & -4 & 0 \end{pmatrix}.
Queremos saber se T é injetora; se não for, basta encontrar um vetor não nulo em \ker A.

Passo 2

Uma transformação linear T é injetora exatamente quando \ker A=\{0\}. Em \mathbb{R}^3, isso equivale a \det A\neq 0. Logo, vamos calcular \det A.

Passo 3

Calculando o determinante por expansão na primeira linha,
\det A = 2\,(5\cdot0 -1\cdot(-4)) -3\,(3\cdot0 -1\cdot(-2)) +1\,(3\cdot(-4)-5\cdot(-2)).
Cada termo é
2\,(0+4)=8,\quad -3\,(0+2)=-6,\quad 1\,(-12+10)=-2,
portanto
\det A = 8 -6 -2 = 0.
Como \det A=0, concluímos que T não é injetora.

Passo 4

Para encontrar um vetor não nulo em \ker A\), resolvemos \[A \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
As equações são
\begin{cases} 2x+3y+z=0,\\\\ 3x+5y+z=0,\\\\ -2x-4y=0. \end{cases}
Da terceira vem x+2y=0\], ou seja, \(x=-2y. Substituindo em 2x+3y+z=0 -4y+3y+z=0\implies z=y. Assim um vetor não nulo do núcleo é
\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2y\y\y\end{pmatrix} = y\begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},
com y\neq 0. Por exemplo, \bigl(-2,1,1\bigr).

Resposta

T não é injetora, pois \det A=0. Um vetor não nulo em \ker A é \bigl(-2,1,1\bigr).

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