Encontre as coordenadas polares dos pontos:
;
Passo 1
O enunciado dá as coordenadas cartesianas do ponto e pede as coordenadas polares correspondentes. As informações fornecidas são:
O que se pede: encontrar
e
tais que o ponto seja
em coordenadas polares.
Passo 2
Lembrete prático (fórmulas que vamos usar) — aqui explico como as coordenadas polares se relacionam com as cartesianas:
- As relações definidoras são
onde
é a distância do ponto à origem (sempre
para a forma padrão) e
é o ângulo que o raio faz com o eixo positivo
.
- Para calcular
a partir de usamos
- Para
podemos usar
mas atenção:
dá um ângulo de referência que pode estar no quadrante errado; é preciso ajustar
conforme o sinal de
e
.
Passo 3
Calcular
. Substituindo
e
:
Calculemos as potências:
Logo
Portanto a distância ao origem é
.
Passo 4
Calcular o ângulo de referência via a tangente:
Sabemos que
. Assim o valor absoluto do ângulo de referência é
, e
. Esse
é um ângulo no quadrante IV, mas devemos checar em qual quadrante está o nosso ponto original.
Passo 5
Determinar o quadrante e ajustar
. Como
e
, o ponto está no quadrante II. No quadrante II o ângulo que tem a mesma tangente positiva
é
. Podemos obter isso também ajustando o resultado do arctan:
Checagem rápida (para ficar seguro):
e
. Multiplicando por
obtemos
que coincide com as coordenadas dadas. Beleza!
Passo 6
Observação sobre unicidade: coordenadas polares não são únicas. A forma padrão é tomar
e
no intervalo
. Aqui a forma padrão é
. A família completa de ângulos equivalente é
com
. Também é possível usar
negativo e adicionar
ao ângulo, mas na prática para provas normalmente se dá a solução com
.