Encontre as coordenadas polares dos pontos:
(-3 \sqrt{3}, 3);

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas cartesianas do ponto e pede as coordenadas polares correspondentes. As informações fornecidas são:
  • x = -3\sqrt{3}
  • y = 3
O que se pede: encontrar r e \theta tais que o ponto seja (r,\theta) em coordenadas polares.

Passo 2

Lembrete prático (fórmulas que vamos usar) — aqui explico como as coordenadas polares se relacionam com as cartesianas:
  • As relações definidoras são
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r é a distância do ponto à origem (sempre r\ge 0 para a forma padrão) e \theta é o ângulo que o raio faz com o eixo positivo x.
  • Para calcular r a partir de (x,y) usamos
r = \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • Para \theta podemos usar
\tan\theta = \frac{y}{x},
mas atenção: \arctan(y/x) dá um ângulo de referência que pode estar no quadrante errado; é preciso ajustar \theta conforme o sinal de x e y.

Passo 3

Calcular r. Substituindo x e y:
r = \sqrt{(-3\sqrt{3})^{2} + (3)^{2}}.
Calculemos as potências:
(-3\sqrt{3})^{2} = 9\cdot 3 = 27,\qquad (3)^{2}=9.
Logo
r = \sqrt{27+9} = \sqrt{36} = 6.
Portanto a distância ao origem é r=6.

Passo 4

Calcular o ângulo de referência via a tangente:
\tan\theta = \frac{y}{x} = \frac{3}{-3\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}.
Sabemos que \tan\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}. Assim o valor absoluto do ângulo de referência é \tfrac{\pi}{6}, e \arctan\!\left(-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\tfrac{\pi}{6}. Esse -\tfrac{\pi}{6} é um ângulo no quadrante IV, mas devemos checar em qual quadrante está o nosso ponto original.

Passo 5

Determinar o quadrante e ajustar \theta. Como x = -3\sqrt{3}<0 e y=3>0, o ponto está no quadrante II. No quadrante II o ângulo que tem a mesma tangente positiva \tfrac{1}{\sqrt{3}} é \pi - \tfrac{\pi}{6}. Podemos obter isso também ajustando o resultado do arctan:
\theta = -\tfrac{\pi}{6} + \pi = \tfrac{5\pi}{6}.
Checagem rápida (para ficar seguro): \cos\!\left(\tfrac{5\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin\!\left(\tfrac{5\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}. Multiplicando por r=6 obtemos
6\cos\!\left(\tfrac{5\pi}{6}\right) = 6\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = -3\sqrt{3},
6\sin\!\left(\tfrac{5\pi}{6}\right) = 6\left(\dfrac{1}{2}\right) = 3,
que coincide com as coordenadas dadas. Beleza!

Passo 6

Observação sobre unicidade: coordenadas polares não são únicas. A forma padrão é tomar r>0 e \theta no intervalo [0,2\pi). Aqui a forma padrão é (6,\tfrac{5\pi}{6}). A família completa de ângulos equivalente é \tfrac{5\pi}{6}+2k\pi com k\in\mathbb{Z}. Também é possível usar r negativo e adicionar \pi ao ângulo, mas na prática para provas normalmente se dá a solução com r>0.

Resposta

(6,\tfrac{5\pi}{6})
(6,\tfrac{5\pi}{6}+2k\pi),\\ k\in\mathbb{Z}

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