Encontre as coordenadas cartesianas e desenho os pontos cujas coordenadas polares são:
;
Passo 1
O enunciado dá um ponto em coordenadas polares e pede para encontrar suas coordenadas cartesianas e desenhar o ponto. As informações fornecidas são:
- O par polar é
. - Ou seja,
e .
O que é pedido: - Calcular as coordenadas cartesianas
correspondentes. - Indicar como desenhar/plotar esse ponto no plano cartesiano.
Passo 2
Entendendo o que significam
e
e a fórmula de conversão.
-
é a distância do ponto à origem (sempre ). -
é o ângulo medido a partir do eixo positivo (sentido anti-horário).
A fórmula padrão para converter coordenadas polaresem cartesianas é:
Explicando cada parte:
dá a fração da distância
na direção horizontal;
dá a fração na direção vertical. Multiplicando por
obtemos as coordenadas
e
no sistema cartesiano.
Passo 3
Determinar
e
para
.
- O ângulo
está no segundo quadrante (entre e ). - O ângulo de referência (distância até o eixo
) é .
Sabemos os valores exatos no círculo unitário:
Como
está no segundo quadrante,
é negativo e
é positivo. Portanto:
Passo 4
Aplicar as fórmulas de conversão com
.
Calcule :
Calcule
Calcule
:
Mostrando a simplificação:
, e o fator
no denominador permanece, resultando em
para
.
Passo 5
Dar aproximações numéricas e interpretar para o desenho.
- Valores exatos:
. - Aproximações decimais úteis para desenhar:
Interpretação geométrica: o ponto está à esquerda da origem (porque
) e acima do eixo
(porque
), isto é, no segundo quadrante — consistente com
.
Passo 6
Instruções práticas para desenhar o ponto no plano cartesiano (passo a passo):
- Desenhe os eixos
(horizontal) e (vertical) e marque uma escala conveniente (por exemplo, 0,5 em cada marcação). - Marque no eixo
o valor (aproximadamente uma unidade e um pouco para a esquerda da origem). - Marque no eixo
o valor (aproximadamente pouco menos que 1 unidade para cima). - A partir da marca
no eixo , suba verticalmente até atingir a altura ; ou alternativamente, da origem vá para a esquerda e para cima. - Coloque um ponto e rotule-o, por exemplo, como
ou com as aproximações.