Encontre as coordenadas cartesianas e desenho os pontos cujas coordenadas polares são:
\left(\sqrt{2}, \frac{5 \pi}{6}\right);

Passo 1

O enunciado dá um ponto em coordenadas polares e pede para encontrar suas coordenadas cartesianas e desenhar o ponto. As informações fornecidas são:
  • O par polar é \left(\sqrt{2}, \frac{5\pi}{6}\right).
  • Ou seja, \;r=\sqrt{2}\; e \;\theta=\frac{5\pi}{6}\;.
    O que é pedido:
  • Calcular as coordenadas cartesianas (x,y) correspondentes.
  • Indicar como desenhar/plotar esse ponto no plano cartesiano.

Passo 2

Entendendo o que significam r e \theta e a fórmula de conversão.
  • r é a distância do ponto à origem (sempre \ge 0).
  • \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo (sentido anti-horário).
    A fórmula padrão para converter coordenadas polares (r,\theta) em cartesianas (x,y) é:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Explicando cada parte: \cos\theta dá a fração da distância r na direção horizontal; \sin\theta dá a fração na direção vertical. Multiplicando por r obtemos as coordenadas x e y no sistema cartesiano.

Passo 3

Determinar \cos\theta e \sin\theta para \theta=\dfrac{5\pi}{6}.
  • O ângulo \dfrac{5\pi}{6} está no segundo quadrante (entre \dfrac{\pi}{2} e \pi).
  • O ângulo de referência (distância até o eixo \pi) é \pi-\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac{\pi}{6}.
    Sabemos os valores exatos no círculo unitário:
\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}.
Como \dfrac{5\pi}{6} está no segundo quadrante, \cos é negativo e \sin é positivo. Portanto:
\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}.

Passo 4

Aplicar as fórmulas de conversão com r=\sqrt{2}.
Calcule x:
x = r\cos\theta = \sqrt{2}\!\cdot\!\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{2} = -\dfrac{\sqrt{6}}{2}.
Calcule y:
y = r\sin\theta = \sqrt{2}\!\cdot\!\dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Mostrando a simplificação: \sqrt{2}\sqrt{3}=\sqrt{6}, e o fator 2 no denominador permanece, resultando em -\dfrac{\sqrt{6}}{2} para x.

Passo 5

Dar aproximações numéricas e interpretar para o desenho.
  • Valores exatos: \;x=-\dfrac{\sqrt{6}}{2},\; y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
  • Aproximações decimais úteis para desenhar:
x\approx -1,2247,\qquad y\approx 0,7071.
Interpretação geométrica: o ponto está à esquerda da origem (porque x<0) e acima do eixo x (porque y>0), isto é, no segundo quadrante — consistente com \theta=\dfrac{5\pi}{6}.

Passo 6

Instruções práticas para desenhar o ponto no plano cartesiano (passo a passo):
  1. Desenhe os eixos x (horizontal) e y (vertical) e marque uma escala conveniente (por exemplo, 0,5 em cada marcação).
  2. Marque no eixo x o valor -1,2247 (aproximadamente uma unidade e um pouco para a esquerda da origem).
  3. Marque no eixo y o valor 0,7071 (aproximadamente pouco menos que 1 unidade para cima).
  4. A partir da marca -1,2247 no eixo x, suba verticalmente até atingir a altura 0,7071; ou alternativamente, da origem vá \approx 1,2247 para a esquerda e \approx 0,7071 para cima.
  5. Coloque um ponto e rotule-o, por exemplo, como \left(-\dfrac{\sqrt{6}}{2},\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) ou com as aproximações.

Resposta

\left(-\dfrac{\sqrt{6}}{2},\; \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)

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