Encontre as coordenadas do ponto de mínimo assumido pela solução do problema de valor inicial
l l y^prime prime-y=0 y(0)=54 y^prime(0)=-34 y= t=

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as coordenadas do ponto de mínimo da solução de um problema de valor inicial. O que isso significa é que a gente tem uma equação diferencial que descreve como uma função $ y(t) $ se comporta ao longo do tempo, e queremos descobrir onde essa função atinge o menor valor (o ponto de mínimo).
Aqui, a matéria que vamos usar é Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Para resolver isso, precisamos conhecer um pouco sobre como resolver equações diferenciais homogêneas e aplicar as condições iniciais que foram dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial dada:
y'' - y = 0
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente resolve encontrando as raízes da equação característica associada:
r^2 - 1 = 0
Resolvendo isso, temos:
r1 = 1 e r2 = -1

Passo 3

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t = C1 e^t + C2 e^-t
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 4

Agora, aplicamos as condições iniciais fornecidas:
  1. $ y(0) = \frac{5}{4} $
  2. $ y’(0) = -\frac{3}{4} $
Primeiro, vamos calcular $ y(0) $:
y(0) = 54

Passo 5

Agora, vamos derivar $ y(t) $ para encontrar $ y’(t) $:
y(t)
Aplicando a condição $ y’(0) = -\frac{3}{4} $:
y'(t)

Passo 6

Agora, temos um sistema de duas equações para resolver:
C1 + C2 = 54 C1 - C2 = -34
Somando as duas equações:
2C1 = 54 - 34 = 24 = 12 implies C1 = 14
Substituindo $ C_1 $ na primeira equação:
C1

Passo 7

Agora que temos $ C_1 $ e $ C_2 $, a solução particular da equação diferencial é:
C1

Passo 8

Para encontrar o ponto de mínimo, precisamos achar o valor de $ t $ onde a derivada $ y’(t) $ é zero. Vamos calcular a derivada:
t
Igualando a zero:
y'(t)
Multiplicando ambos os lados por $ e^{t} $:
y'(t) = 14 e^t - e^-t

Passo 9

Agora que temos $ t = \ln(2) $, vamos substituir esse valor na função $ y(t) $ para encontrar o valor mínimo:
t = ln(2)

Resposta

O ponto de mínimo da solução é $ (\ln(2),\ 1) $.

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