Encontre as coordenadas do ponto de mínimo assumido pela solução do problema de valor inicial
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as coordenadas do ponto de mínimo da solução de um problema de valor inicial. O que isso significa é que a gente tem uma equação diferencial que descreve como uma função $ y(t) $ se comporta ao longo do tempo, e queremos descobrir onde essa função atinge o menor valor (o ponto de mínimo).
Aqui, a matéria que vamos usar é Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Para resolver isso, precisamos conhecer um pouco sobre como resolver equações diferenciais homogêneas e aplicar as condições iniciais que foram dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial dada:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente resolve encontrando as raízes da equação característica associada:
Resolvendo isso, temos:
Passo 3
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 4
Agora, aplicamos as condições iniciais fornecidas:
- $ y(0) = \frac{5}{4} $
- $ y’(0) = -\frac{3}{4} $
Primeiro, vamos calcular $ y(0) $:
Passo 5
Agora, vamos derivar $ y(t) $ para encontrar $ y’(t) $:
Aplicando a condição $ y’(0) = -\frac{3}{4} $:
Passo 6
Agora, temos um sistema de duas equações para resolver:
Somando as duas equações:
Substituindo $ C_1 $ na primeira equação:
Passo 7
Agora que temos $ C_1 $ e $ C_2 $, a solução particular da equação diferencial é:
Passo 8
Para encontrar o ponto de mínimo, precisamos achar o valor de $ t $ onde a derivada $ y’(t) $ é zero. Vamos calcular a derivada:
Igualando a zero:
Multiplicando ambos os lados por $ e^{t} $:
Passo 9
Agora que temos $ t = \ln(2) $, vamos substituir esse valor na função $ y(t) $ para encontrar o valor mínimo:
Resposta
O ponto de mínimo da solução é $ (\ln(2),\ 1) $.