Seja f(x, y)=clx y^2x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
Verifique se f é diferenciável em (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a função $ f(x, y) $ é diferenciável no ponto f(x, y) . A matéria aqui é cálculo multivariável, especificamente sobre diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como verificar a existência das derivadas parciais e se a função se comporta bem próximo desse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a função ser diferenciável em um ponto. Basicamente, $ f $ é diferenciável em f se ela pode ser aproximada por um plano linear perto desse ponto. Isso envolve calcular as derivadas parciais de $ f $ em (0,0) e verificar se o limite que define a diferenciabilidade é zero.

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas parciais de $ f $ em f . A derivada parcial em relação a $ x $ é dada por:
(0,0)
Como $ f(0,0) = 0 $ e $ f(h, 0) = \frac{h \cdot 02}{h2 + 0^2} = 0 $, temos:
x

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a $ y $:
y
De novo, $ f(0,k) = \frac{0 \cdot k2}{02 + k^2} = 0 $, então:
fy(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0,0)k

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, vamos ver se a função é realmente diferenciável. Precisamos verificar se:
lim(x,y) to (0,0) f(x,y) - f(0,0) - fx(0,0)x - fy(0,0)yraizx^2 + y^2 = 0
Como $ f(0,0) = 0 $ e as derivadas parciais também são zero, a expressão simplifica para:
f(0,0) = 0

Passo 6

Agora, vamos analisar esse limite. Substituindo $ f(x,y) = \frac{x y2}{x2 + y^2} $, temos:
f(x,y) = x y^2x^2 + y^2
Vamos verificar se esse limite é zero quando f(x,y)raizx^2 + y^2 = x y^2x^2 + y^2raizx^2 + y^2 = x y^2(x^2 + y^2)^3/2 se aproxima de (x,y). Podemos usar coordenadas polares onde $ x = r \cos \theta $ e $ y = r \sin \theta $. Então:
(0,0)

Passo 7

Note que cos theta sin^2 theta é uma função limitada, já que |cos theta sin^2 theta| <= 1. Porém, para o limite ser zero, precisamos que ele não dependa de theta. Mas aqui, o valor depende de theta, o que significa que o limite pode variar dependendo da direção pela qual (x,y) se aproxima de (0,0).

Passo 8

Por exemplo, se escolhermos theta = 0, então cos theta sin^2 theta = 0. Mas se escolhermos theta = pi4, então cos theta sin^2 theta = raiz22 cdot (raiz22)^2 = raiz22 cdot 12 = raiz24, que não é zero. Isso mostra que o limite não é o mesmo para todas as direções.

Passo 9

Como o limite não é uniforme e depende da direção, concluímos que:
lim(x,y) to (0,0) f(x,y)raizx^2 + y^2 neq 0

Resposta

Portanto, a função $ f $ não é diferenciável no ponto f .

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