Seja
Verifique se
é diferenciável em
.
Verifique se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a função $ f(x, y) $ é diferenciável no ponto
. A matéria aqui é cálculo multivariável, especificamente sobre diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como verificar a existência das derivadas parciais e se a função se comporta bem próximo desse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a função ser diferenciável em um ponto. Basicamente, $ f $ é diferenciável em
se ela pode ser aproximada por um plano linear perto desse ponto. Isso envolve calcular as derivadas parciais de $ f $ em
e verificar se o limite que define a diferenciabilidade é zero.
Passo 3
Vamos começar calculando as derivadas parciais de $ f $ em
. A derivada parcial em relação a $ x $ é dada por:
Como $ f(0,0) = 0 $ e $ f(h, 0) = \frac{h \cdot 02}{h2 + 0^2} = 0 $, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a $ y $:
De novo, $ f(0,k) = \frac{0 \cdot k2}{02 + k^2} = 0 $, então:
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, vamos ver se a função é realmente diferenciável. Precisamos verificar se:
Como $ f(0,0) = 0 $ e as derivadas parciais também são zero, a expressão simplifica para:
Passo 6
Agora, vamos analisar esse limite. Substituindo $ f(x,y) = \frac{x y2}{x2 + y^2} $, temos:
Vamos verificar se esse limite é zero quando
se aproxima de
. Podemos usar coordenadas polares onde $ x = r \cos \theta $ e $ y = r \sin \theta $. Então:
Passo 7
Note que
é uma função limitada, já que
. Porém, para o limite ser zero, precisamos que ele não dependa de
. Mas aqui, o valor depende de
, o que significa que o limite pode variar dependendo da direção pela qual
se aproxima de
.
Passo 8
Por exemplo, se escolhermos
, então
. Mas se escolhermos
, então
, que não é zero. Isso mostra que o limite não é o mesmo para todas as direções.
Passo 9
Como o limite não é uniforme e depende da direção, concluímos que:
Resposta
Portanto, a função $ f $ não é diferenciável no ponto
.