Seja a função
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Determine o domínio, trace as curvas de nivel e esboce o gráfico da função
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Determine o domínio, trace as curvas de nivel e esboce o gráfico da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x, y) = 11 - x^{2} - y^{2} $. Precisamos descobrir três coisas:
- Domínio da função – basicamente, quais valores de $ x $ e $ y $ a função aceita.
- Curvas de nível – são como “fatias” da função para diferentes valores de $ f(x, y) $.
- Esboço do gráfico da função – uma representação visual de como essa função se comporta no espaço.
Para isso, vamos usar conceitos de funções de duas variáveis, álgebra e geometria.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares $ (x, y) $ onde a função está definida. Olhando para $ f(x, y) = 11 - x^{2} - y^{2} $, percebemos que não há divisões por zero, raízes de números negativos ou logaritmos de números não positivos que possam limitar os valores de $ x $ e $ y $. Como estamos subtraindo sempre números quadrados, que são sempre positivos ou zero, a função está definida para todos os números reais de $ x $ e $ y $. Então, o domínio é:
Passo 3
Agora, vamos traçar as curvas de nível. Essas curvas mostram onde a função $ f(x, y) $ tem valores constantes. Para isso, escolhemos diferentes valores para $ f(x, y) $ e resolvemos a equação resultante.
Vamos chamar $ f(x, y) = c $, onde $ c $ é uma constante. Então:
Rearranjando a equação:
Essa é a equação de um círculo com raio $ \sqrt{11 - c} $. Isso significa que, para cada valor de $ c $ menor que 11, teremos um círculo no plano $ xy $.
Por exemplo:
- Se $ c = 0 $, então $ x^{2} + y^{2} = 11 $.
- Se $ c = 5 $, então $ x^{2} + y^{2} = 6 $.
- E assim por diante.
Essas curvas nos ajudam a visualizar como a função se comporta à medida que $ c $ varia.
Passo 4
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função $ f(x, y) = 11 - x^{2} - y^{2} $. Esse tipo de função representa um paraboloide. Mais especificamente, como os termos $ x^{2} $ e $ y^{2} $ estão sendo subtraídos, o paraboloide é descendente, ou seja, ele “desce” a partir de um ponto mais alto.
O ponto mais alto desse paraboloide é o vértice, que ocorre quando $ x = 0 $ e $ y = 0 $. Substituindo esses valores na função:
Então, o vértice está no ponto $ (0, 0, 11) $.
À medida que $ x $ e $ y $ se afastam do zero, o valor de $ f(x, y) $ diminui, formando uma superfície curva que se abre para baixo.
Resposta
O domínio da função $ f(x, y) = 11 - x^{2} - y^{2} $ é todo o plano $ \mathbb{R} \times \mathbb{R} $. As curvas de nível são círculos com equação $ x^{2} + y^{2} = 11 - c $ para diferentes valores de $ c $. O gráfico da função é um paraboloide descendente com vértice no ponto $ (0, 0, 11) $.