Encontre as coordenadas [v]B do vetor v=(1,2,-3) em relação à base B=(0,1,1),(1,1,1),(1,0,1).

Passo 1

O enunciado dá o vetor v=(1,2,-3) em R^3 e a base
B = ,b1=(0,1,1),;b2=(1,1,1),;b3=(1,0,1)
Queremos encontrar [v]B=(c1,c2,c3) tais que
v = c1,b1 + c2,b2 + c3,b3
Para isso, basta montar e resolver o sistema linear que relaciona as componentes.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear,
c1(0,1,1) + c2(1,1,1) + c3(1,0,1) = (1,2,-3)
Comparando componente a componente, obtemos o sistema
c2 + c3 = 1, c1 + c2 = 2, c1 + c2 + c3 = -3

Passo 3

Das duas primeiras equações isolamos c1 e c3 em função de c2:
c1 = 2 - c2, c3 = 1 - c2

Passo 4

Substituímos essas expressões na terceira equação:
(2 - c2) + c2 + (1 - c2) = -3 Longrightarrow 3 - c2 = -3 Longrightarrow c2 = 6
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c1 = 2 - 6 = -4, c3 = 1 - 6 = -5

Resposta

[v]B = (c1,c2,c3) = (-4,6,-5).

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