Seja T uma transformação linear de R^2 em R^2 tal que T(2,0)=(1,1) e T(0,3)=(3,3). Encontre T(1,1) e T(0,1).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear Tcolon R^2toR^2 com
T(2,0) = (1,1), T(0,3) = (3,3),
e pede T(1,1) e T(0,1). O conteúdo aqui é que uma transformação linear fica totalmente determinada pelos valores em uma base de R^2, e podemos usar a base formada pelos vetores (2,0) e (0,3).

Passo 2

Verificamos que (2,0),(0,3) é de fato uma base de R^2, pois
det2 & 0 0 & 3 = 2 cdot 3 - 0 cdot 0 = 6 neq 0
Logo, qualquer (x,y)inR^2 se escreve (x,y) = a,(2,0) + b,(0,3) de modo único.

Passo 3

Para calcular T(1,1), escrevemos
(1,1) = a,(2,0) + b,(0,3) Longrightarrow (2a,,3b)=(1,1)
que dá a = tfrac12 e b = tfrac13.
Pela linearidade,
T(1,1) = a,T(2,0) + b,T(0,3) = tfrac12,(1,1) + tfrac13,(3,3) = l(tfrac12 + 1,;tfrac12 + 1r) = l(tfrac32,;tfrac32r)

Passo 4

Para obter T(0,1), escrevemos
(0,1) = a,(2,0) + b,(0,3) Longrightarrow (2a,,3b)=(0,1)
resultando em a=0 e b=tfrac13. Então
T(0,1) = 0cdot T(2,0) + tfrac13cdot T(0,3) = tfrac13,(3,3) = (1,1)

Resposta

T(1,1) = l(tfrac32,,tfrac32r) T(0,1) = (1,1)

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