Dada a matriz . Encontre o polinômio característico, os autovalores, os respectivos autoespaços e as multiplicidades algébricas e geométricas associadas aos autovalores.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A = 1 & 12 & 0
e pede o polinômio característico, os autovalores, os autoespaços e as respectivas multiplicidades algébricas e geométricas. Vamos usar determinantes para achar o polinômio, resolver a equação característica para obter os autovalores e resolver (A-lambda I)x=0 para achar os autoespaços.
vemos que os autovalores são lambda1=2 e lambda2=-1, cada um com multiplicidade algébrica mua=1.
Passo 4
Para resolvemos
que dá a equação , ou seja . Logo
e como há um só parâmetro livre, a multiplicidade geométrica é .
Passo 5
Para resolvemos
que dá , ou seja . Logo
e a multiplicidade geométrica também é .
Resposta
O polinômio característico é
p(lambda)=lambda^2-lambda-2=(lambda-2)(lambda+1)
Os autovalores são lambda1=2 e lambda2=-1, cada um com multiplicidade algébrica mua=1.
Para lambda=2: E2=ker(A-2I)=t(1,1)^Tmid tinR, mug(2)=1.
Para lambda=-1: E-1=ker(A+I)=t(1,-2)^Tmid tinR, mug(-1)=1.