Dada a matriz A=[ll1 & 1 2 & 0]. Encontre o polinômio característico, os autovalores, os respectivos autoespaços e as multiplicidades algébricas e geométricas associadas aos autovalores.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 12 & 0
e pede o polinômio característico, os autovalores, os autoespaços e as respectivas multiplicidades algébricas e geométricas. Vamos usar determinantes para achar o polinômio, resolver a equação característica para obter os autovalores e resolver (A-lambda I)x=0 para achar os autoespaços.

Passo 2

O polinômio característico p(lambda) de A é
p(lambda)=det(A-lambda I) =det1-lambda & 12 & -lambda =(1-lambda)(-lambda)-2 =lambda^2-lambda-2

Passo 3

Fatorando
lambda^2-lambda-2=(lambda-2)(lambda+1),
vemos que os autovalores são
lambda1=2 e lambda2=-1, cada um com multiplicidade algébrica mua=1.

Passo 4

Para resolvemos
que dá a equação , ou seja . Logo
e como há um só parâmetro livre, a multiplicidade geométrica é .

Passo 5

Para resolvemos
que dá , ou seja . Logo
e a multiplicidade geométrica também é .

Resposta

O polinômio característico é
p(lambda)=lambda^2-lambda-2=(lambda-2)(lambda+1)
Os autovalores são
lambda1=2 e lambda2=-1, cada um com multiplicidade algébrica mua=1.
Para lambda=2:
E2=ker(A-2I)=t(1,1)^Tmid tinR, mug(2)=1.
Para lambda=-1:
E-1=ker(A+I)=t(1,-2)^Tmid tinR, mug(-1)=1.

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