Vamos considerar o seguinte subespaço de \mathbb{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}) :
W=\left\{\left.\left[\begin{array}{ll} a & b \\\ c & d \end{array}\right] \in \mathbb{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}) \right\rvert\, a=0 \quad \text { e } \quad b=c\right\}
Encontre uma base para W e determine as coordenadas do vetor v \in \mathbb{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}), com
v=\left[\begin{array}{ll} 0 & 3 \\\\ 3 & 5 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado define o subespaço linear W\subset \mathbb{M}_{2\times2}(\mathbb{R}) dado por
W=\left\{\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}\;\Big|\;a=0\;\text{e}\;b=c\right\}.
Queremos (1) encontrar uma base de W e (2) determinar as coordenadas do vetor
v=\begin{pmatrix}0 & 3\\[4pt]3 & 5\end{pmatrix}
em relação a essa base.]

Passo 2

Para qualquer matriz em W temos a=0 e c=b, logo um elemento genérico w\in W pode ser escrito como
w=\begin{pmatrix}0 & b\\[4pt]b & d\end{pmatrix},
onde b,d\in\mathbb{R}.]

Passo 3

Agora separamos os parâmetros b e d em combinações lineares de matrizes fixas. De fato,
w = b\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} + d\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Isso sugere escolher como base de W os vetores
E_{1} = \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad E_{2} = \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Portanto
\mathcal{B} = \{\,E_{1},E_{2}\}
é uma base de W.]

Passo 4

Para expressar v na base \mathcal{B}, igualamos
v = \begin{pmatrix}0 & 3\\[4pt]3 & 5\end{pmatrix} = \alpha\,E_{1} + \beta\,E_{2} = \alpha\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} + \beta\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Comparando entradas, vemos que \alpha=3 e \beta=5.]

Resposta

A base escolhida para W é
\mathcal{B} = \left\{\, \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}, \;\; \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} \right\},
e as coordenadas de v nessa base são
[v]_{\mathcal{B}} = (3,\,5).]

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