Encontre as coordenadas do vetor w na base dada.
Em \mathbb{R}^{3}, vetor w=(1,2,3) e a base ordenada formada pelos vetores v_{1}=(2,1,4), v_{2}=(0,3,3) e v_{3}=(1,2,4).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Vetor dado: w = (1,2,3).
  • Base ordenada dada: v_{1}=(2,1,4),\; v_{2}=(0,3,3),\; v_{3}=(1,2,4).
  • O que se pede: encontrar as coordenadas de w na base (v_1,v_2,v_3).
    Isso significa encontrar escalares \alpha,\beta,\gamma tais que \alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3 = w.

Passo 2

Vou traduzir a combinação linear para um sistema linear em coordenadas. Escrever a equação componente a componente dá
\alpha(2,1,4) + \beta(0,3,3) + \gamma(1,2,4) = (1,2,3).
Isto é equivalente ao sistema matricial
\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 3 & 2\\[4pt] 4 & 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\alpha\\[4pt]\beta\\[4pt]\gamma\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Chamarei a matriz dos vetores da base de M (colunas são v_1,v_2,v_3). Minha meta é resolver Mx=w para x=(\alpha,\beta,\gamma)^T.]

Passo 3

Vou resolver o sistema pelo método de eliminação (Gauss). Escrevo a matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 3 & 2 & 2\\[4pt] 4 & 3 & 4 & 3 \end{array}\right].
Para facilitar, troco a linha 1 com a linha 2 (assim o pivô inicial fica 1):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 2 & 2\\[4pt] 2 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 4 & 3 & 4 & 3 \end{array}\right].]

Passo 4

Elimino a coluna 1 abaixo do pivô (usar operações linha):
  • R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1:
R_2: \\ (2,0,1,1) - 2\cdot(1,3,2,2) = (0,-6,-3,-3).
  • R_3 \leftarrow R_3 - 4R_1:
R_3: \\ (4,3,4,3) - 4\cdot(1,3,2,2) = (0,-9,-4,-5).
Matriz agora:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 2 & 2\\[4pt] 0 & -6 & -3 & -3\\[4pt] 0 & -9 & -4 & -5 \end{array}\right].]

Passo 5

Simplifico a segunda linha dividindo por -3 (para ter números menores):
R_2 \leftarrow \frac{1}{-3}R_2 \implies R_2 = (0,2,1,1).
Agora elimino a entrada -9 em R_3 usando R_2. Faço R_3 \leftarrow R_3 + \tfrac{9}{2}R_2:
\tfrac{9}{2}R_2 = \left(0,9,\tfrac{9}{2},\tfrac{9}{2}\right),
R_3 + \tfrac{9}{2}R_2 = (0,-9,-4,-5) + \left(0,9,\tfrac{9}{2},\tfrac{9}{2}\right) = \left(0,0,\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\right).
Multiplicando essa linha por 2 para ficar inteira:
R_3 \leftarrow 2R_3 = (0,0,1,-1).
A matriz escalonada fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 2 & 2\\[4pt] 0 & 2 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 \end{array}\right].]

Passo 6

Agora faço substituição regressiva (back-substitution):
  • Da terceira linha: 1\cdot\gamma = -1 logo \gamma = -1.
  • Da segunda linha: 2\beta + 1\gamma = 1. Substituindo \gamma=-1: 2\beta + (-1) = 1 \implies 2\beta = 2 \implies \beta = 1.
  • Da primeira linha: \alpha + 3\beta + 2\gamma = 2. Substituindo \beta=1,\;\gamma=-1: \alpha + 3\cdot1 + 2\cdot(-1) = 2 \implies \alpha + 3 -2 = 2 \implies \alpha +1 = 2 \implies \alpha = 1.

Passo 7

Verificação rápida (sempre faça isso na prova): calcular a combinação
1\cdot v_1 + 1\cdot v_2 + (-1)\cdot v_3 = (2,1,4)+(0,3,3)-(1,2,4) = (1,2,3) = w.
Está correto. Portanto as coordenadas de w na base (v_1,v_2,v_3) são (1,1,-1).

Resposta

(1,1,-1)

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