Dados os vetores \vec{u}=(1,2,3) e \vec{v}=(2,-1,4), calcule:
\vec{u}+\vec{v}, \quad \vec{u}-\vec{v}, \quad 3 \vec{u} .

Passo 1

O enunciado fornece dois vetores em \mathbb{R}^3:
\vec{u}=(1,2,3),\qquad \vec{v}=(2,-1,4).
Pede para calcular três operações com esses vetores:
  1. \vec{u}+\vec{v},
  2. \vec{u}-\vec{v},
  3. 3\vec{u}.

Passo 2

Regra para soma de vetores (componente a componente).
Sejam dois vetores (a_1,a_2,a_3) e (b_1,b_2,b_3). A soma é dada por
(a_1,a_2,a_3)+(b_1,b_2,b_3)=(a_1+b_1,\;a_2+b_2,\;a_3+b_3).
Aqui a_i e b_i representam as componentes nas direções coordenadas (primeira, segunda e terceira componente). Aplicando isso a \vec{u} e \vec{v}:
Calcule componente a componente:
\text{1ª componente: } 1+2=3,ª
\text{2ª componente: } 2+(-1)=1,ª
\text{3ª componente: } 3+4=7.ª
Logo,
\vec{u}+\vec{v}=(3,1,7).

Passo 3

Regra para subtração de vetores (também componente a componente).
Sejam (a_1,a_2,a_3) e (b_1,b_2,b_3). A subtração é
(a_1,a_2,a_3)-(b_1,b_2,b_3)=(a_1-b_1,\;a_2-b_2,\;a_3-b_3).
Aplicando a \vec{u} e \vec{v}:
Calcule componente a componente:
\text{1ª componente: } 1-2=-1,ª
\text{2ª componente: } 2-(-1)=2+1=3,ª
\text{3ª componente: } 3-4=-1.ª
Portanto,
\vec{u}-\vec{v}=(-1,3,-1).

Passo 4

Regra para multiplicação por escalar.
Se k é um escalar e (a_1,a_2,a_3) é um vetor, então
k(a_1,a_2,a_3)=(k a_1,\;k a_2,\;k a_3).
Aqui k é o número que escala cada componente do vetor. No caso k=3 e \vec{u}=(1,2,3):
Calcule componente a componente:
\text{1ª componente: } 3\cdot 1=3,ª
\text{2ª componente: } 3\cdot 2=6,ª
\text{3ª componente: } 3\cdot 3=9.ª
Assim,
3\vec{u}=(3,6,9).

Resposta

\vec{u}+\vec{v}=(3,1,7)
\vec{u}-\vec{v}=(-1,3,-1)
3\vec{u}=(3,6,9)

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