Encontre uma curva parametrizada diferenciável definida em um intervalo
e cuja imagem coincida com a curva de nível
da função
Passo 1
O enunciado pede a curva de nível
de
ou seja, todos os pares
tais que
Para resolver vamos: (i) isolar
, (ii) identificar a forma implícita da curva e (iii) escolher uma parametrização diferenciável adequada.
Passo 2
Da condição
vem
logo
Quadrando ambos os lados obtemos a forma implícita
que é uma elipse centrada em
com semieixo vertical
e semieixo horizontal
. Como a raiz é positiva, ficamos só com a metade superior da elipse, em que
.
Passo 3
Para parametrizar a metade superior da elipse usamos funções trigonométricas. Sejam
e definamos
Então
e
logo
como desejado, e
em
.
Resposta
Uma parametrização conveniente é
cuja imagem é exatamente a curva de nível
.