(1 , 5) Encontre uma curva parametrizada diferenciável definida em um intervalo I e cuja imagem coincida com a curva de nível c=0 da função f(x, y)=-y+raiz1-3(x-1)^2

Passo 1

O enunciado pede a curva de nível ,c=0 de
f(x,y) = -y + raiz1 - 3,(x-1)^2
ou seja, todos os pares (x,y) tais que
f(x,y)=0
Para resolver vamos: (i) isolar y, (ii) identificar a forma implícita da curva e (iii) escolher uma parametrização diferenciável adequada.

Passo 2

Da condição f(x,y)=0 vem
-y + raiz1 - 3(x-1)^2 = 0
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y = raiz1 - 3(x-1)^2
Quadrando ambos os lados obtemos a forma implícita
y^2 + 3,(x-1)^2 = 1,
que é uma elipse centrada em (1,0) com semieixo vertical 1 e semieixo horizontal 1/raiz3. Como a raiz é positiva, ficamos só com a metade superior da elipse, em que y>=0.

Passo 3

Para parametrizar a metade superior da elipse usamos funções trigonométricas. Sejam tin(0,pi) e definamos
x(t) - 1 = tfrac1raiz3cos t, y(t) = sin t
Então
3,(x(t)-1)^2 = 3l(tfrac1raiz3cos tr)^2 = cos^2t,
e
y(t)^2 = sin^2t,
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y(t)^2 + 3,(x(t)-1)^2 = sin^2t + cos^2t = 1,
como desejado, e sin t>=0 em (0,pi).

Resposta

Uma parametrização conveniente é
alphacolon (0,pi)toR^2, alpha(t) = l(1 + tfrac1raiz3cos t,;sin tr),
cuja imagem é exatamente a curva de nível f(x,y)=0.

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