Seja uma função de classe e sejam constantes tais que e . Seja . Mostre que:

Passo 1

O enunciado define uma função f(x,y) de classe C^2 e faz a mudança de variáveis
x = a,u + b,v, y = c,u + d,v,
com constantes a,b,c,d tais que
a^2 + b^2 = 1, c^2 + d^2 = 1, a,c + b,d = 0
Queremos mostrar que, para
g(u,v)=fl(a,u+b,v,;c,u+d,vr),
vale
partial^2 gpartial u^2(u,v) + partial^2 gpartial v^2(u,v) = partial^2 fpartial x^2(x,y) + partial^2 fpartial y^2(x,y),
isto é, o laplaciano de g em (u,v) coincide com o laplaciano de f em (x,y). Para isso, usaremos a regra da cadeia para derivadas parciais e depois as condições de ortonormalidade.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia às primeiras derivadas de g, obtemos
partial gpartial u = fx,partial xpartial u + fy,partial ypartial u = fx,a + fy,c,
partial gpartial v = fx,partial xpartial v + fy,partial ypartial v = fx,b + fy,d,
onde, para enxugar, escrevemos fx e fy em vez de partial fpartial x e partial fpartial y, sempre avaliados em (x,y)=(a,u+b,v,;c,u+d,v).

Passo 3

Agora derivamos novamente em relação a u para obter partial^2 g/partial u^2. Usando a regra da cadeia nas derivadas de fx e fy temos
partial^2 gpartial u^2 = partialpartial ul(a,fx + c,fyr) = al(fxx,xu + fxy,yur) + cl(fyx,xu + fyy,yur)
Como xu=a e yu=c e fxy=fyx, isso expande para
partial^2 gpartial u^2 = al(a,fxx + c,fxyr) + cl(a,fxy + c,fyyr) = a^2,fxx + 2,a,c,fxy + c^2,fyy

Passo 4

De modo análogo, para partial^2 g/partial v^2 usamos xv=b e yv=d e obtemos
partial^2 gpartial v^2 = b^2,fxx + 2,b,d,fxy + d^2,fyy

Passo 5

Somando as duas segundas derivadas:
partial^2 gpartial u^2 + partial^2 gpartial v^2 = (a^2 + b^2),fxx + 2,(a,c + b,d),fxy + (c^2 + d^2),fyy
Pelas hipóteses a^2+b^2=1, c^2+d^2=1 e a,c+b,d=0, isso reduz a
1cdot fxx + 0cdot fxy + 1cdot fyy = fxx + fyy

Resposta

partial^2 gpartial u^2(u,v) + partial^2 gpartial v^2(u,v) = partial^2 fpartial x^2(a,u+b,v,;c,u+d,v) + partial^2 fpartial y^2(a,u+b,v,;c,u+d,v)

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