Seja
uma função de classe
e sejam
constantes tais que
e
. Seja
. Mostre que:
Passo 1
O enunciado define uma função
de classe
e faz a mudança de variáveis
com constantes
tais que
Queremos mostrar que, para
vale
isto é, o laplaciano de
em
coincide com o laplaciano de
em
. Para isso, usaremos a regra da cadeia para derivadas parciais e depois as condições de ortonormalidade.
Passo 2
Aplicando a regra da cadeia às primeiras derivadas de
, obtemos
onde, para enxugar, escrevemos
e
em vez de
e
, sempre avaliados em
.
Passo 3
Agora derivamos novamente em relação a
para obter
. Usando a regra da cadeia nas derivadas de
e
temos
Como
e
e
, isso expande para
Passo 4
De modo análogo, para
usamos
e
e obtemos
Passo 5
Somando as duas segundas derivadas:
Pelas hipóteses
,
e
, isso reduz a