1. (a) Encontre a derivada da função f(x)=5-3 xx-2, usando a definição.
    (b) Determine uma equação da reta tangente a essa curva no ponto (3,-4).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=5-3xx-2
usando a definição
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h,
e em seguida a equação da reta tangente em (3,-4) usando
y - y0 = m,(x - x0)

Passo 2

Escrevemos
f(x+h)=5-3(x+h)(x+h)-2, f(x)=5-3xx-2
e montamos o quociente
f(x+h)-f(x)h = 5-3(x+h)x+h-2 ;-;5-3xx-2h

Passo 3

Para simplificar, colocamos tudo sobre o mesmo denominador:
f(x+h)-f(x)h =(5-3(x+h))(x-2);-;(5-3x)(x+h-2)(x+h-2)(x-2),h
Expandindo e subtraindo:
(5-3(x+h))(x-2)=(5-3x-3h)(x-2), (5-3x)(x+h-2)=(5-3x)(x-2)+(5-3x)h,
diferença=-3h(x-2)-(5-3x)h=-h[3(x-2)+(5-3x)]=h ç
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f(x+h)-f(x)h =h(x+h-2)(x-2),h =1(x+h-2)(x-2)

Passo 4

Tomando o limite hto0,
f'(x) =limhto01(x+h-2)(x-2) =1(x-2)^2

Passo 5

A inclinação da reta tangente em x=3 é
m=f'(3)=1(3-2)^2=1

Passo 6

Usando a fórmula da reta tangente em (3,-4):
y - (-4)=1,(x-3) ;Longrightarrow; y+4=x-3 ;Longrightarrow; y=x-7

Resposta

(a) f'(x)=1(x-2)^2
(b) A reta tangente é y = x - 7.

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