Usando a definição, verifique se a função
f(x)=ccx^2+1, & x <= 1 -x^22+4, & 1<x <= 4 2, & x>4
é contínua nos reais.

Passo 1

Temos a função
Queremos verificar onde , ou seja, onde vale
para todo .

Passo 2

Em cada intervalo aberto (-infty,1), (1,4) e (4,infty), f é dada por polinômio ou por constante. Sabemos que polinômios e funções constantes são contínuos em todo seu domínio. Logo f é contínua em todos os pontos internos desses três intervalos.

Passo 3

Agora checamos o ponto de quebra x=1.
limxto1^-f(x)=1^2+1=2,
f(1)=1^2+1=2,
limxto1^+f(x)=-tfrac1^22+4=-tfrac12+4=tfrac72.
Como limxto1^-f(x)neqlimxto1^+f(x), f é descontínua em x=1.

Passo 4

Em x=4 temos:
limxto4^-f(x)=-tfrac4^22+4=-8+4=-4,
f(4)=-tfrac4^22+4=-4,
limxto4^+f(x)=2.
Como limxto4^-f(x)neqlimxto4^+f(x), f é descontínua em x=4.

Resposta

A função f é contínua em (-infty,1), (1,4) e (4,infty), mas apresenta descontinuidades em x=1 e x=4. Portanto, f não é contínua em toda R.

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