Encontre as curvas de nível da função f(x, y)=\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{3}+y^{3}}

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar as curvas de nível da função \displaystyle f(x,y)=\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{3}+y^{3}}.
Informações dadas e observações iniciais importantes:
f(x,y)=\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{3}+y^{3}}
  • As curvas de nível são os conjuntos \{(x,y)\mid f(x,y)=k\} para constantes k.
  • A função não está definida quando o denominador é zero, isto é quando
x^{3}+y^{3}=0\quad\Longleftrightarrow\quad y=-x.
Portanto a reta \,y=-x (e o ponto (0,0)) está fora do domínio.
A resolução real começa no Passo 2.

Passo 2

Vamos escrever a equação da curva de nível para uma constante genérica k. Impomos
\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{3}+y^{3}}=k,
e multiplicamos ambos os lados por x^{3}+y^{3} (lembrando que aqui assumimos x^{3}+y^{3}\neq0, caso contrário a função não está definida):
x^{3}-y^{3}=k\,(x^{3}+y^{3}).

Passo 3

Desenvolvendo a igualdade do Passo 2 e agrupando termos em x^{3} e y^{3}:
x^{3}-y^{3}=k x^{3}+k y^{3}
x^{3}-k x^{3}=y^{3}+k y^{3}
(1-k)\,x^{3}=(1+k)\,y^{3}.
Esta é a relação algébrica básica entre x e y para pontos onde f(x,y)=k.

Passo 4

Caso geral: k\neq\pm 1. Dividindo ambos os lados por (1+k)\,x^{3} (assumindo x\neq0; o caso x=0 será tratado separadamente):
\frac{y^{3}}{x^{3}}=\frac{1-k}{1+k}.
Tomando a raiz cúbica em ambos os lados (a raiz cúbica é bem definida sobre os reais):
\frac{y}{x}=\sqrt[3]{\frac{1-k}{1+k}}.
Logo, para k\neq\pm1 e pontos com x\neq0, a curva de nível é a reta que passa pela origem
y=m x, \qquad\text{onde}\qquad m=\sqrt[3]{\frac{1-k}{1+k}}.
Observações didáticas: isso significa que, para cada valor fixo de k (exceto \pm1), todos os pontos na reta com inclinação m satisfazem f(x,y)=k. Note que o ponto (0,0) não pertence ao domínio, então as retas aparecem sem incluir a origem.

Passo 5

Precisamos tratar os casos especiais k=1 e k=-1, porque na fórmula do Passo 4 aparecem (1+k) e (1-k) no denominador.
  • Se k=1, a equação (1-k)x^{3}=(1+k)y^{3} vira
0\cdot x^{3}=2\,y^{3}\quad\Longrightarrow\quad y^{3}=0\quad\Longrightarrow\quad y=0.
Portanto a curva de nível para k=1 é a reta
y=0,
com x\neq0 (pois (0,0) não está no domínio).
  • Se k=-1, a equação vira
2\,x^{3}=0\quad\Longrightarrow\quad x^{3}=0\quad\Longrightarrow\quad x=0.
Portanto a curva de nível para k=-1 é a reta
x=0,
com y\neq0.

Passo 6

Verificação alternativa e interpretação: se tomarmos uma reta qualquer que passe pela origem y=m x (com m^3\neq-1, porque m=-1 é a reta proibida y=-x), podemos substituir na função e obter
f(x,mx)=\frac{x^{3}-(m x)^{3}}{x^{3}+(m x)^{3}} =\frac{1-m^{3}}{1+m^{3}}.
Isto mostra a correspondência explícita entre o declive m da reta e o valor da constante de nível k:
k=\frac{1-m^{3}}{1+m^{3}},\qquad m^{3}\neq-1.
Invertendo essa relação obtemos
m=\sqrt[3]{\frac{1-k}{1+k}},
coisa que já deduzimos. Exemplos rápidos:
  • Para k=0 temos m=\sqrt[3]{1}=1, ou seja a curva y=x.
  • Para k=1 obtemos y=0 (caso especial tratado).
  • A reta y=-x corresponde ao denominador zero e não faz parte do domínio.

Passo 7

Resumo das exclusões e do domínio: a função não está definida em pontos tais que x^{3}+y^{3}=0, isto é na reta y=-x. O ponto (0,0) também está fora do domínio. As curvas de nível são retas que passam pela origem (sem o ponto origem) parametrizadas pelo declive m, exceto a reta proibida y=-x. Os casos k=\pm1 correspondem às retas coordenadas ( y=0 e x=0, respectivamente).

Resposta

Para cada constante k\in\mathbb{R} com k\neq-1 a curva de nível \{(x,y)\mid f(x,y)=k\} é a reta
y=m x,\qquad m=\sqrt[3]{\frac{1-k}{1+k}},
(excluindo o ponto (0,0)).
Para k=1 a curva de nível é
y=0\quad (x\neq0).
Para k=-1 a curva de nível é
x=0\quad (y\neq0).
A reta y=-x está fora do domínio de f (denominador zero) e portanto não aparece como curva de nível.

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