Encontre as curvas de nível da função
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar as curvas de nível da função
.
Informações dadas e observações iniciais importantes:
Informações dadas e observações iniciais importantes:
- As curvas de nível são os conjuntos
para constantes . - A função não está definida quando o denominador é zero, isto é quando
Portanto a reta
(e o ponto
) está fora do domínio.
A resolução real começa no Passo 2.
A resolução real começa no Passo 2.
Passo 2
Vamos escrever a equação da curva de nível para uma constante genérica
. Impomos
e multiplicamos ambos os lados por
(lembrando que aqui assumimos
, caso contrário a função não está definida):
Passo 3
Desenvolvendo a igualdade do Passo 2 e agrupando termos em
e
:
Esta é a relação algébrica básica entre
e
para pontos onde
.
Passo 4
Caso geral:
. Dividindo ambos os lados por
(assumindo
; o caso
será tratado separadamente):
Tomando a raiz cúbica em ambos os lados (a raiz cúbica é bem definida sobre os reais):
Logo, para
e pontos com
, a curva de nível é a reta que passa pela origem
Observações didáticas: isso significa que, para cada valor fixo de
(exceto
), todos os pontos na reta com inclinação
satisfazem
. Note que o ponto
não pertence ao domínio, então as retas aparecem sem incluir a origem.
Passo 5
Precisamos tratar os casos especiais
e
, porque na fórmula do Passo 4 aparecem
e
no denominador.
- Se
, a equação vira
Portanto a curva de nível para
é a reta
com
(pois
não está no domínio).
- Se
, a equação vira
Portanto a curva de nível para
é a reta
com
.
Passo 6
Verificação alternativa e interpretação: se tomarmos uma reta qualquer que passe pela origem
(com
, porque
é a reta proibida
), podemos substituir na função e obter
Isto mostra a correspondência explícita entre o declive
da reta e o valor da constante de nível
:
Invertendo essa relação obtemos
coisa que já deduzimos. Exemplos rápidos:
- Para
temos , ou seja a curva . - Para
obtemos (caso especial tratado). - A reta
corresponde ao denominador zero e não faz parte do domínio.
Passo 7
Resumo das exclusões e do domínio: a função não está definida em pontos tais que
, isto é na reta
. O ponto
também está fora do domínio. As curvas de nível são retas que passam pela origem (sem o ponto origem) parametrizadas pelo declive
, exceto a reta proibida
. Os casos
correspondem às retas coordenadas (
e
, respectivamente).
Resposta
Para cada constante
com
a curva de nível
é a reta
(excluindo o ponto
).
Para a curva de nível é
Para
Para
a curva de nível é
A reta
está fora do domínio de
(denominador zero) e portanto não aparece como curva de nível.