Encontre as curvas de nível da função f(x, y)=y^{2}-e^{x}.Faça um gráfico (geogebra) com \mathrm{k}=-3,-2,-1,0,1,2,3.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: encontrar as curvas de nível da função f(x,y)=y^{2}-e^{x} e produzir um gráfico (no GeoGebra) para os valores \mathrm{k}=-3,-2,-1,0,1,2,3.
Informações dadas: a função é f(x,y)=y^{2}-e^{x}. As curvas de nível são os conjuntos \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid f(x,y)=\mathrm{k}\} para cada constante \mathrm{k} fornecida.
Não vamos resolver nada ainda; só identifiquei o que é pedido e quais dados temos.

Passo 2

Escrevendo a equação de nível de forma direta: igualamos f(x,y) a uma constante \mathrm{k}:
y^{2}-e^{x}=\mathrm{k}.
Isolando y^{2} obtemos a forma mais conveniente para desenhar:
y^{2}=e^{x}+\mathrm{k}.
Agora tomo a raiz quadrada (lembrando das duas soluções, positiva e negativa) e escrevo as duas ramas da curva:
y=\pm\sqrt{\,e^{x}+\mathrm{k}\,}.
Explicação didática: uma curva de nível é o lugar geométrico dos pontos (x,y) em que a função vale exatamente \mathrm{k}. Ao resolver a equação de nível para y obtemos explicitamente as alturas y em função de x. O símbolo \pm aparece porque y^{2} tem duas raízes: y positivo e y negativo — geometria simétrica em relação ao eixo x.

Passo 3

Condição de existência (domínio da raiz): para que \sqrt{e^{x}+\mathrm{k}} seja real precisamos de
e^{x}+\mathrm{k}\ge 0.
Isto determina se a curva está definida para todos os x ou apenas a partir de um certo x. Analisando:
  • Se \mathrm{k}\ge 0, como e^{x}>0 para todo x, temos e^{x}+\mathrm{k}>0 para todo x. Logo para \mathrm{k}\ge 0 as duas ramas y=\pm\sqrt{e^{x}+\mathrm{k}} estão definidas para todo x\in\mathbb{R}.
  • Se \mathrm{k}<0, precisamos de e^{x}\ge -\mathrm{k}. Como e^{x} é crescente, isso equivale a
x\ge \ln(-\mathrm{k}).
Nesse caso a curva só existe para x maiores ou iguais a \ln(-\mathrm{k}). No ponto limite x=\ln(-\mathrm{k}) temos e^{x}+\mathrm{k}=0, então y=0. Portanto para \mathrm{k}<0 a curva começa num ponto único \big(\ln(-\mathrm{k}),\,0\big) e segue para a direita formando as duas ramas simétricas.

Passo 4

Outra forma equivalente (útil às vezes) é resolver para x em função de y. Partindo de y^{2}=e^{x}+\mathrm{k} obtemos
e^{x}=y^{2}-\mathrm{k}\quad\Rightarrow\quad x=\ln\big(y^{2}-\mathrm{k}\big),
essa forma é válida quando y^{2}-\mathrm{k}>0. Atenção: se houver exatamente y^{2}-\mathrm{k}=0 então e^{x}=0 não ocorre (pois e^{x}>0 sempre), mas a igualdade e^{x}+\mathrm{k}=0 traduz-se em y=0 e x=\ln(-\mathrm{k}) quando \mathrm{k}<0. Ou seja, ao usar x=\ln(y^{2}-\mathrm{k}) perdemos o ponto limite onde y=0 e e^{x}+\mathrm{k}=0 (porque \ln(0) é indefinido); por isso é melhor usar a forma y=\pm\sqrt{e^{x}+\mathrm{k}} para capturar esse ponto.

Passo 5

Comportamento qualitativo (para interpretar o desenho na prova):
  • Para \mathrm{k}\ge 0: quando x\to -\infty temos e^{x}\to 0, então y\to \pm\sqrt{\mathrm{k}}. Logo cada curva tem assíntotas horizontais em y=\pm\sqrt{\mathrm{k}} à esquerda. Quando x\to +\infty, e^{x} domina e y\sim \pm e^{x/2} cresce muito rápido para cima e para baixo.
  • Para \mathrm{k}<0: as curvas começam no ponto único \big(\ln(-\mathrm{k}),0\big) (as duas ramas se encontram nesse ponto) e para x\to +\infty as ramas divergem como \pm e^{x/2}. Não há parte da curva para x<\ln(-\mathrm{k}).
    Exemplos numéricos (usei estes números para plotar ou conferir pontos):
\ln(2)\approx 0{,}6931,\quad \ln(3)\approx 1{,}0986,\quad \ln(1)=0.
Assim, para \mathrm{k}=-2 a curva começa em (\ln2,0)\approx(0{,}6931,0); para \mathrm{k}=-3 começa em (\ln3,0)\approx(1{,}0986,0); para \mathrm{k}=-1 começa em (0,0).

Passo 6

Como plotar no GeoGebra (passo a passo prático):
  1. Abra o GeoGebra Graphing Calculator.
  2. Para cada valor \mathrm{k}\in\{-3,-2,-1,0,1,2,3\} digite a equação implícita
y^{2}-e^{x}=\mathrm{k}.
GeoGebra aceita equações implícitas e irá desenhar as duas ramas automaticamente (essa é a forma mais simples).
3. Alternativa (se preferir funções explícitas): para cada \mathrm{k} insira as duas funções
y=\sqrt{\,e^{x}+\mathrm{k}\,}\qquad\text{e}\qquad y=-\sqrt{\,e^{x}+\mathrm{k}\,}.
GeoGebra não desenhará partes onde a expressão sob a raiz é negativa, então para \mathrm{k}<0 a curva aparecerá apenas a partir de x=\ln(-\mathrm{k}).
4. Ajuste a janela de visualização para enxergar bem as curvas, por exemplo x\in[-2,4] e y\in[-6,6]. Use cores diferentes para cada \mathrm{k} e, se quiser, mostre pontos marcantes como \big(\ln(-\mathrm{k}),0\big) para \mathrm{k}<0.
Dica amigável: começar com o input implícito é o mais direto — copie exatamente, por exemplo, para \mathrm{k}=-3:
y^{2}-e^{x}=-3
e repita para os outros \mathrm{k}.

Passo 7

Resumo prático para a prova (passos rápidos que você pode recitar):
  • Escreva y^{2}-e^{x}=\mathrm{k}.
  • Passe para y^{2}=e^{x}+\mathrm{k}.
  • Logo y=\pm\sqrt{e^{x}+\mathrm{k}} com condição e^{x}+\mathrm{k}\ge 0.
  • Se \mathrm{k}\ge 0: curva definida em todo x, assíntotas horizontais y=\pm\sqrt{\mathrm{k}} à esquerda.
  • Se \mathrm{k}<0: curva começa em x=\ln(-\mathrm{k}) com ponto (\ln(-\mathrm{k}),0) e existe somente para x\ge \ln(-\mathrm{k}).

Resposta

Curvas de nível: y=\pm\sqrt{\,e^{x}+\mathrm{k}\,} com a condição e^{x}+\mathrm{k}\ge 0.
Para plotar no GeoGebra: inserir, para cada \mathrm{k}\in\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}, a equação implícita y^{2}-e^{x}=\mathrm{k} (ou as duas funções y=\pm\sqrt{e^{x}+\mathrm{k}}).

Exercícios relacionados