Encontre as curvas de nível da função
.Faça um gráfico (geogebra) com
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: encontrar as curvas de nível da função
e produzir um gráfico (no GeoGebra) para os valores
.
Informações dadas: a função é . As curvas de nível são os conjuntos
para cada constante
fornecida.
Não vamos resolver nada ainda; só identifiquei o que é pedido e quais dados temos.
Informações dadas: a função é
Não vamos resolver nada ainda; só identifiquei o que é pedido e quais dados temos.
Passo 2
Escrevendo a equação de nível de forma direta: igualamos
a uma constante
:
Isolando
obtemos a forma mais conveniente para desenhar:
Agora tomo a raiz quadrada (lembrando das duas soluções, positiva e negativa) e escrevo as duas ramas da curva:
Explicação didática: uma curva de nível é o lugar geométrico dos pontos
em que a função vale exatamente
. Ao resolver a equação de nível para
obtemos explicitamente as alturas
em função de
. O símbolo
aparece porque
tem duas raízes:
positivo e
negativo — geometria simétrica em relação ao eixo
.
Passo 3
Condição de existência (domínio da raiz): para que
seja real precisamos de
Isto determina se a curva está definida para todos os
ou apenas a partir de um certo
. Analisando:
- Se
, como para todo , temos para todo . Logo para as duas ramas estão definidas para todo . - Se
, precisamos de . Como é crescente, isso equivale a
Nesse caso a curva só existe para
maiores ou iguais a
. No ponto limite
temos
, então
. Portanto para
a curva começa num ponto único
e segue para a direita formando as duas ramas simétricas.
Passo 4
Outra forma equivalente (útil às vezes) é resolver para
em função de
. Partindo de
obtemos
essa forma é válida quando
. Atenção: se houver exatamente
então
não ocorre (pois
sempre), mas a igualdade
traduz-se em
e
quando
. Ou seja, ao usar
perdemos o ponto limite onde
e
(porque
é indefinido); por isso é melhor usar a forma
para capturar esse ponto.
Passo 5
Comportamento qualitativo (para interpretar o desenho na prova):
- Para
: quando temos , então . Logo cada curva tem assíntotas horizontais em à esquerda. Quando , domina e cresce muito rápido para cima e para baixo. - Para
: as curvas começam no ponto único (as duas ramas se encontram nesse ponto) e para as ramas divergem como . Não há parte da curva para .
Exemplos numéricos (usei estes números para plotar ou conferir pontos):
Assim, para
a curva começa em
; para
começa em
; para
começa em
.
Passo 6
Como plotar no GeoGebra (passo a passo prático):
- Abra o GeoGebra Graphing Calculator.
- Para cada valor
digite a equação implícita
GeoGebra aceita equações implícitas e irá desenhar as duas ramas automaticamente (essa é a forma mais simples).
3. Alternativa (se preferir funções explícitas): para cada insira as duas funções
3. Alternativa (se preferir funções explícitas): para cada
GeoGebra não desenhará partes onde a expressão sob a raiz é negativa, então para
a curva aparecerá apenas a partir de
.
4. Ajuste a janela de visualização para enxergar bem as curvas, por exemplo e
. Use cores diferentes para cada
e, se quiser, mostre pontos marcantes como
para
.
Dica amigável: começar com o input implícito é o mais direto — copie exatamente, por exemplo, para :
4. Ajuste a janela de visualização para enxergar bem as curvas, por exemplo
Dica amigável: começar com o input implícito é o mais direto — copie exatamente, por exemplo, para
e repita para os outros
.
Passo 7
Resumo prático para a prova (passos rápidos que você pode recitar):
- Escreva
. - Passe para
. - Logo
com condição . - Se
: curva definida em todo , assíntotas horizontais à esquerda. - Se
: curva começa em com ponto e existe somente para .
Resposta
Curvas de nível:
com a condição
.
Para plotar no GeoGebra: inserir, para cada , a equação implícita
(ou as duas funções
).
Para plotar no GeoGebra: inserir, para cada