Calcule os limites
\lim _{\{x, y\} \rightarrow 1,1)} \frac{x^{2}-x y}{x^{2}-y^{2}}
sabe - se que todos estes limites existem!!! Logo, não precisa provar, apenas calcular.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(1,1)} \frac{x^{2}-x y}{x^{2}-y^{2}}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão a estudar é \dfrac{x^{2}-x y}{x^{2}-y^{2}}.
  • O enunciado afirma que o limite existe (portanto não precisamos provar existência, só calcular o valor).
  • Note que o denominador \,x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)\, se anula quando x=y. Por isso a função original está indefinida na reta x=y, mas o limite pode existir quando (x,y) se aproxima de (1,1) por pontos com x\neq y.

Passo 2

Fazer fatoração para simplificar a expressão. Começo fatorando numerador e denominador:
x^{2}-x y = x(x-y)
e
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).

Passo 3

Eliminar o fator comum (x-y). Para pontos com x\neq y a expressão pode ser simplificada cancelando (x-y):
\frac{x^{2}-x y}{x^{2}-y^{2}}=\frac{x(x-y)}{(x-y)(x+y)}=\frac{x}{x+y}\quad\text{quando }x\neq y.
Isso mostra que, afastado da reta x=y, a função original coincide com a função racional
g(x,y)=\frac{x}{x+y}.

Passo 4

Argumento sobre continuidade e validade da substituição no limite. A função g(x,y)=\dfrac{x}{x+y} é uma função racional em duas variáveis e é contínua em todos os pontos onde o denominador é diferente de zero. No ponto (1,1) temos x+y=1+1=2\neq 0, logo g é contínua em (1,1). Como para (x,y) próximos de (1,1) (com x\neq y) a original coincide com g, o limite da função original ao se aproximar de (1,1) é o mesmo que o limite de g em (1,1).

Passo 5

Como g é contínua em (1,1), o limite é simplesmente o valor de g em (1,1). Então
\lim_{(x,y)\to(1,1)} \frac{x^{2}-x y}{x^{2}-y^{2}}=\lim_{(x,y)\to(1,1)} \frac{x}{x+y}=\frac{1}{1+1}.

Passo 6

Calcular o valor final da fração:
\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.

Resposta

\dfrac{1}{2}

Exercícios relacionados