Calcule os limites
sabe - se que todos estes limites existem!!! Logo, não precisa provar, apenas calcular.
sabe - se que todos estes limites existem!!! Logo, não precisa provar, apenas calcular.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão a estudar é
. - O enunciado afirma que o limite existe (portanto não precisamos provar existência, só calcular o valor).
- Note que o denominador
se anula quando . Por isso a função original está indefinida na reta , mas o limite pode existir quando se aproxima de por pontos com .
Passo 2
Fazer fatoração para simplificar a expressão. Começo fatorando numerador e denominador:
e
Passo 3
Eliminar o fator comum
. Para pontos com
a expressão pode ser simplificada cancelando
:
Isso mostra que, afastado da reta
, a função original coincide com a função racional
Passo 4
Argumento sobre continuidade e validade da substituição no limite. A função
é uma função racional em duas variáveis e é contínua em todos os pontos onde o denominador é diferente de zero. No ponto
temos
, logo
é contínua em
. Como para
próximos de
(com
) a original coincide com
, o limite da função original ao se aproximar de
é o mesmo que o limite de
em
.
Passo 5
Como
é contínua em
, o limite é simplesmente o valor de
em
. Então
Passo 6
Calcular o valor final da fração: