Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias de ordem superior.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária de quarta ordem $ y^{(4)} - y = 0 $. Aqui estamos lidando com equações diferenciais de ordem superior, especificamente de quarta ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes e encontrar as raízes da equação característica associada.
Passo 2
Primeiro, identificamos a equação diferencial dada: $ y^{(4)} - y = 0 $. Essa é uma equação linear homogênea com coeficientes constantes. O próximo passo é escrever a equação característica, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação diferencial.
Passo 3
A equação característica é formada substituindo $ y^{(n)} $ por $ r^n $. Assim, para a nossa equação $ y^{(4)} - y = 0 $, a equação característica fica:
Passo 4
Agora, precisamos resolver a equação característica $ r^4 - 1 = 0 $. Isso significa encontrar os valores de $ r $ que satisfazem a equação. Vamos fatorar $ r^4 - 1 $:
Passo 5
Igualando cada fator a zero, temos as raízes:
Portanto, as raízes são $ r = 1 $, $ r = -1 $, $ r = i $ e $ r = -i $.
Passo 6
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Para raízes reais distintas $ r_1 $ e $ r_2 $, temos termos da forma $ e^{r_1 x} $ e $ e^{r_2 x} $. Para raízes complexas $ a \pm b i $, a solução inclui termos como $ e^{a x} \cos(b x) $ e $ e^{a x} \sin(b x) $.
Passo 7
Aplicando isso às nossas raízes:
- Para $ r = 1 $: $ e^{x} $
- Para $ r = -1 $: $ e^{-x} $
- Para $ r = i $: $ \cos(x) $ e $ \sin(x) $ (já que $ a = 0 $ e $ b = 1 $)
Passo 8
Portanto, a solução geral da equação diferencial é a soma de todos esses termos:
onde $ C_1 $, $ C_2 $, $ C_3 $ e $ C_4 $ são constantes arbitrárias que podem ser determinadas por condições iniciais, se fornecidas.
Resposta
A solução geral da equação diferencial $ y^{(4)} - y = 0 $ é: