Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias de ordem superior.
y^(4)-y=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária de quarta ordem $ y^{(4)} - y = 0 $. Aqui estamos lidando com equações diferenciais de ordem superior, especificamente de quarta ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes e encontrar as raízes da equação característica associada.

Passo 2

Primeiro, identificamos a equação diferencial dada: $ y^{(4)} - y = 0 $. Essa é uma equação linear homogênea com coeficientes constantes. O próximo passo é escrever a equação característica, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação diferencial.

Passo 3

A equação característica é formada substituindo $ y^{(n)} $ por $ r^n $. Assim, para a nossa equação $ y^{(4)} - y = 0 $, a equação característica fica:
y^(n)

Passo 4

Agora, precisamos resolver a equação característica $ r^4 - 1 = 0 $. Isso significa encontrar os valores de $ r $ que satisfazem a equação. Vamos fatorar $ r^4 - 1 $:
r^4 - 1 = 0

Passo 5

Igualando cada fator a zero, temos as raízes:
r - 1 = 0 Rightarrow r = 1
r + 1 = 0 Rightarrow r = -1
r^2 + 1 = 0 Rightarrow r^2 = -1 Rightarrow r = i e r = -i
Portanto, as raízes são $ r = 1 $, $ r = -1 $, $ r = i $ e $ r = -i $.

Passo 6

Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Para raízes reais distintas $ r_1 $ e $ r_2 $, temos termos da forma $ e^{r_1 x} $ e $ e^{r_2 x} $. Para raízes complexas $ a \pm b i $, a solução inclui termos como $ e^{a x} \cos(b x) $ e $ e^{a x} \sin(b x) $.

Passo 7

Aplicando isso às nossas raízes:
  • Para $ r = 1 $: $ e^{x} $
  • Para $ r = -1 $: $ e^{-x} $
  • Para $ r = i $: $ \cos(x) $ e $ \sin(x) $ (já que $ a = 0 $ e $ b = 1 $)

Passo 8

Portanto, a solução geral da equação diferencial é a soma de todos esses termos:
y(x) = C1 e^x + C2 e^-x + C3 cos(x) + C4 sin(x)
onde $ C_1 $, $ C_2 $, $ C_3 $ e $ C_4 $ são constantes arbitrárias que podem ser determinadas por condições iniciais, se fornecidas.

Resposta

A solução geral da equação diferencial $ y^{(4)} - y = 0 $ é:
y^(4) - y = 0

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