Encontre as curvas de nível Sc(f), c>0, da seguinte função de produção de Cobb-Douglas f(x, y)=x^1 / 3 y^2 / 3, x>0 e y>0 (usada nos Exemplos 9.6 e 9.13). (Resposta: y=c^3 / 2 / raizx )

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função de produção de Cobb–Douglas f(x,y)=x^1/3y^2/3 definida para x>0, y>0. O objetivo é encontrar as curvas de nível Sc(f)=(x,y):f(x,y)=c para cada c>0. Vamos usar definição de curvas de nível e álgebra para isolar y.

Passo 2

Igualando a função a um nível c, escrevemos a condição
x^1/3y^2/3=c

Passo 3

Para eliminar as potências fracionárias, elevamos ambos os lados ao cubo:
(x^1/3y^2/3)^3=c^3O que simplifica para
x,y^2=c^3

Passo 4

Agora isolamos y^2 dividindo ambos os lados por x:
y^2=c^3x

Passo 5

Como y>0, tomamos a raiz quadrada positiva:
y=raizc^3x=c^3/2x^1/2

Resposta

As curvas de nível são dadas por y=dfracc^3/2raizx.

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